Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) Periodo. Igualamos la fuerza gravitatoria con la fuerza centrípeta ($m$ es la masa de la nave, que se va a simplificar):$$\frac{G\,M_T\,m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{G\,M_T}{r}}$$En un periodo la nave recorre una circunferencia completa, $2\pi r$, a velocidad constante:$$T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi r\sqrt{\frac{r}{G\,M_T}} \quad\Longrightarrow\quad T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G\,M_T}}$$Velocidad de escape. Si desde la órbita lanzamos la nave con velocidad $v_e$, escapa justo cuando llega al infinito con velocidad nula. Allí la energía mecánica es cero, y como se conserva, también lo es en la órbita:$$\frac{1}{2}\,m\,v_e^2 - \frac{G\,M_T\,m}{r} = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2\,G\,M_T}{r}}$$Fíjate en que $v_e = \sqrt{2}\,v$: la velocidad de escape es $\sqrt{2}$ veces la orbital en esa misma órbita.

b) Pasamos los datos al SI:$$T = 1{,}59\cdot 3600 = 5724\ \text{s}\qquad v_e = 1{,}07\cdot 10^{4}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$De la velocidad de escape despejamos el producto $G\,M_T$:$$v_e^2 = \frac{2\,G\,M_T}{r} \quad\Longrightarrow\quad G\,M_T = \frac{v_e^2\,r}{2}$$Y lo sustituimos en el periodo (elevado al cuadrado para quitar la raíz):$$T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{G\,M_T} = \frac{4\pi^2 r^3}{v_e^2\,r/2} = \frac{8\pi^2 r^2}{v_e^2} \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{v_e\,T}{2\sqrt{2}\,\pi}$$$$r = \frac{1{,}07\cdot 10^{4}\cdot 5724}{2\sqrt{2}\,\pi} = 6{,}89\cdot 10^{6}\ \text{m}$$Es un radio apenas mayor que el de la Tierra (unos $6{,}37\cdot 10^{6}\,\text{m}$): la nave está en una órbita baja, a unos $520\,\text{km}$ de altura, lo que cuadra con un periodo de hora y media.

Con $r$ ya conocido, la masa de la Tierra sale de la expresión de $G\,M_T$:$$M_T = \frac{v_e^2\,r}{2\,G} = \frac{(1{,}07\cdot 10^{4})^2\cdot 6{,}89\cdot 10^{6}}{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}} = 5{,}92\cdot 10^{24}\ \text{kg}$$Muy cerca del valor aceptado ($5{,}97\cdot 10^{24}\,\text{kg}$), así que el resultado es razonable.

En la simulación se ve esta órbita con la masa obtenida: la nave, a $522\,\text{km}$ de altura sobre la Tierra real y con la velocidad orbital $v = v_e/\sqrt{2} \approx 7{,}57\,\text{km/s}$, da una vuelta en hora y media.