FísicaDifícilProblema · 2 pts

Problema resuelto de Física: Luz: reflexión, refracción y ondas electromagnéticasSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2024 · Julio

Enunciado

El agua contenida en un depósito está separada del aire por una placa plana horizontal de vidrio, de espesor

e = 10\,\text{cm}

, estando su cara inferior en contacto con el agua. Un rayo de luz monocromática de frecuencia

f = 3\cdot10^{14}\,\text{Hz}

, procedente de una lámpara situada en el interior del depósito, incide sobre el vidrio con un ángulo

\theta = 45^\circ

respecto de la normal a la superficie de la placa. Calcula razonadamente:

a) El ángulo de refracción entre el agua y el vidrio y el ángulo de refracción entre el vidrio y el aire. Representa los rayos en los tres medios. (1 punto)

b) El ángulo de incidencia máximo de entrada del rayo desde el agua a la placa de vidrio,

\theta_m

, para que salga de ésta al aire, así como el tiempo que tarda el rayo en propagarse a través del vidrio cuando incide con este ángulo

\theta_m

. Calcula también la longitud de onda del rayo en el interior de la placa de vidrio. (1 punto)

Datos:

n_{\text{agua}} = 1{,}33

;

n_{\text{vidrio}} = 1{,}62

;

n_{\text{aire}} = 1{,}00

; velocidad de la luz en el aire,

c = 3\cdot10^{8}\,\text{m/s}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) Agua-vidrio:

\theta_v = 35{,}5^\circ

. Vidrio-aire:

\theta_a = 70{,}1^\circ

(igual que si el rayo pasara directamente del agua al aire).

b)

\theta_m = \arcsin(1/1{,}33) = 48{,}8^\circ

. Con él, dentro del vidrio forma

38{,}1^\circ

con la normal, recorre

L = 0{,}127\,\text{m}

v = 1{,}85\cdot10^{8}\,\text{m/s}

y tarda

t \approx 6{,}9\cdot10^{-10}\,\text{s}

. Longitud de onda en el vidrio:

\lambda_v = 617\,\text{nm}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El rayo sube del agua al vidrio y del vidrio al aire, atravesando dos superficies paralelas. En cada una aplicamos la ley de Snell. Como las caras son paralelas, el ángulo de refracción en la primera es el de incidencia en la segunda, y al encadenar las dos igualdades el vidrio «desaparece»:

n_{\text{agua}}\sin\theta = n_{\text{aire}}\sin\theta_{\text{aire}}

. Por eso, aunque al entrar en el vidrio la luz se acerca a la normal, el que decide si sale es el paso al aire: en b) buscamos el ángulo de entrada para el que en la cara superior se alcanza el ángulo límite (el rayo sale rasante). Con él calculamos el camino oblicuo dentro de la placa, la velocidad en el vidrio y el tiempo; la longitud de onda sale de que la frecuencia no cambia.

Desarrollo

a) Refracción agua-vidrio. Ley de Snell en la cara inferior, con

\theta = 45^\circ

n_{\text{agua}}\sin\theta = n_{\text{vidrio}}\sin\theta_v\quad\Longrightarrow\quad \sin\theta_v = \frac{n_{\text{agua}}}{n_{\text{vidrio}}}\sin\theta = \frac{1{,}33\cdot\sin45^\circ}{1{,}62} = 0{,}581

\theta_v = 35{,}5^\circ

El vidrio es más refringente que el agua: el rayo se acerca a la normal.

Refracción vidrio-aire. Las caras son paralelas, así que el rayo llega a la cara superior con el mismo ángulo

\theta_v

respecto de la normal:

n_{\text{vidrio}}\sin\theta_v = n_{\text{aire}}\sin\theta_a\quad\Longrightarrow\quad \sin\theta_a = \frac{1{,}62\cdot0{,}581}{1{,}00} = 0{,}940

\theta_a = 70{,}1^\circ

(Lo mismo que

n_{\text{agua}}\sin\theta = n_{\text{aire}}\sin\theta_a

1{,}33\cdot0{,}707 = 0{,}940

.) Ahora el rayo pasa a un medio menos refringente y se aleja de la normal.

Representación. Dibuja dos rectas horizontales (las caras de la placa) con la normal vertical en cada punto de incidencia. Abajo, en el agua, el rayo sube formando

45^\circ

con la normal; dentro del vidrio se cierra hacia la normal (

35{,}5^\circ

); al salir al aire se abre mucho (

70{,}1^\circ

), más que en el agua. Los rayos de cada medio quedan en el mismo plano y a un mismo lado de la normal.

Rayo que sube desde el agua y llega a la placa de vidrio con 45 grados respecto a la normal; en el vidrio se acerca a la normal, con 35,5 grados, y al salir al aire se aleja de ella, con 70,1 grados

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Ángulo máximo de entrada. En la cara superior la luz pasa del vidrio al aire, a un medio menos refringente: si el ángulo de incidencia supera el ángulo límite, hay reflexión total y no sale. El caso límite es que salga rasante,

\theta_a = 90^\circ

. Encadenando las dos leyes de Snell:

n_{\text{agua}}\sin\theta_m = n_{\text{vidrio}}\sin\theta_L = n_{\text{aire}}\sin90^\circ\quad\Longrightarrow\quad \sin\theta_m = \frac{n_{\text{aire}}}{n_{\text{agua}}} = \frac{1}{1{,}33} = 0{,}752

\theta_m = 48{,}8^\circ

Para ángulos de entrada mayores el rayo se refleja totalmente en la cara superior y no sale al aire. (En la cara inferior no hay ángulo límite: del agua al vidrio la luz siempre entra, porque pasa a un medio más refringente.)

Ángulo dentro del vidrio con $\theta_m$ . Es el ángulo límite vidrio-aire:

\sin\theta_L = \frac{n_{\text{aire}}}{n_{\text{vidrio}}} = \frac{1}{1{,}62} = 0{,}617\quad\Longrightarrow\quad \theta_L = 38{,}1^\circ,\qquad \cos\theta_L = 0{,}787

Camino recorrido en el vidrio. El rayo atraviesa la placa de espesor

e

en diagonal, formando

\theta_L

con la vertical:

L = \frac{e}{\cos\theta_L} = \frac{0{,}10}{0{,}787} = 0{,}127\,\text{m}

Velocidad en el vidrio y tiempo.

v = \frac{c}{n_{\text{vidrio}}} = \frac{3\cdot10^{8}}{1{,}62} = 1{,}85\cdot10^{8}\,\text{m/s}\qquad t = \frac{L}{v} = \frac{e\,n_{\text{vidrio}}}{c\,\cos\theta_L} = \frac{0{,}127}{1{,}85\cdot10^{8}} = 6{,}86\cdot10^{-10}\,\text{s}

Longitud de onda en el vidrio. La frecuencia no cambia al pasar de un medio a otro (la fija la fuente); lo que cambia es la velocidad, y con ella la longitud de onda:

\lambda_v = \frac{v}{f} = \frac{c}{n_{\text{vidrio}}\,f} = \frac{1{,}85\cdot10^{8}}{3\cdot10^{14}} = 6{,}17\cdot10^{-7}\,\text{m} = 617\,\text{nm}

(En el aire sería

\lambda_0 = c/f = 1000\,\text{nm}

, en el infrarrojo cercano.)

Consejo

El dibujo de los tres medios vale 0,3 puntos: marca la normal en cada cara y respeta que en el vidrio el rayo se acerca a la normal y en el aire se aleja más que en el agua.

Para el tiempo, el error típico es dividir el espesor $e$ entre la velocidad: el rayo va inclinado y recorre $e/\cos\theta_L$ . Y recuerda que el ángulo límite lo marca la cara de salida (vidrio-aire), no la de entrada.