FísicaMedioProblema · 2 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Comunidad de Madrid · 2024 · Junio
Enunciado
Un satélite de 200 kg de masa se mueve en una órbita cerrada alrededor de la Tierra. En un determinado instante, es detectado a 630 km de altura, moviéndose a 9,92 km s−19{,}92\ \text{km}\,\text{s}^{-1} con velocidad perpendicular a la dirección radial.

a) Compare la velocidad del satélite con la correspondiente a una órbita circular de la altura dada y del resultado anterior, razone si la órbita es circular o elíptica.

b) Calcule los módulos del momento angular y de la aceleración del satélite en el instante señalado.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}; Masa de la Tierra, MT=5,97⋅1024 kgM_T = 5{,}97\cdot 10^{24}\ \text{kg}; Radio de la Tierra, RT=6,37⋅106 mR_T = 6{,}37\cdot 10^{6}\ \text{m}.
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Resultado
  vc=7,54 km/s<v=9,92 km/s ⇒ oˊrbita elıˊptica (el sateˊlite estaˊ en el perigeo)  \boxed{\;v_c = 7{,}54\ \text{km/s} < v = 9{,}92\ \text{km/s}\ \Rightarrow\ \text{órbita elíptica (el satélite está en el perigeo)}\;}  L=1,39⋅1013 kg m2 s−1a=8,13 m/s2 (hacia el centro de la Tierra)  \boxed{\;L = 1{,}39\cdot 10^{13}\ \text{kg}\,\text{m}^2\,\text{s}^{-1}\qquad a = 8{,}13\ \text{m/s}^2\ \text{(hacia el centro de la Tierra)}\;}
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Estrategia

Para que una órbita sea circular, la gravedad tiene que hacer exactamente de fuerza centrípeta, y eso fija una única velocidad para cada radio, v=GM/rv = \sqrt{GM/r}. La calculamos a 630 km de altura y la comparamos con la del satélite: si no coinciden, la órbita no puede ser circular.

Como la velocidad es perpendicular al radio, el satélite está en un extremo del eje mayor de la elipse (perigeo o apogeo); si va más deprisa que en la órbita circular, la gravedad no basta para curvarlo tanto y se aleja: está en el perigeo.

En b), el momento angular es L=m r vL = m\,r\,v (el ángulo entre r⃗\vec r y v⃗\vec v es de 90°) y la aceleración es la de la gravedad a esa distancia, g=GM/r2g = GM/r^2, porque es la única fuerza que actúa.
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Desarrollo

a) Distancia al centro de la Tierra:r=RT+h=6,37⋅106+6,30⋅105=7,00⋅106 mr = R_T + h = 6{,}37\cdot 10^{6} + 6{,}30\cdot 10^{5} = 7{,}00\cdot 10^{6}\ \text{m}En una órbita circular, la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta:GMTmr2=mvc2r ⇒ vc=GMTr=6,67⋅10−11⋅5,97⋅10247,00⋅106=7,54⋅103 m/s\frac{G M_T m}{r^2} = \frac{m v_c^2}{r}\ \Rightarrow\ v_c = \sqrt{\frac{G M_T}{r}} = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}}{7{,}00\cdot 10^{6}}} = 7{,}54\cdot 10^{3}\ \text{m/s}El satélite va a 9,92 km/s9{,}92\ \text{km/s}, bastante más deprisa que los 7,54 km/s7{,}54\ \text{km/s} que necesitaría para una órbita circular de ese radio:v=9,92 km/s>vc=7,54 km/sv = 9{,}92\ \text{km/s} > v_c = 7{,}54\ \text{km/s}Por tanto la órbita no es circular: la atracción gravitatoria es menor que la fuerza centrípeta que haría falta para mantenerlo a esa distancia, y el satélite se aleja. Como la órbita es cerrada (va por debajo de la velocidad de escape a esa altura, 2 vc=10,7 km/s\sqrt{2}\,v_c = 10{,}7\ \text{km/s}), es elíptica. Y como su velocidad es perpendicular al radio y mayor que la circular, el satélite está en el perigeo, el punto más cercano a la Tierra.
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b) El momento angular respecto del centro de la Tierra es L⃗=r⃗×mv⃗\vec L = \vec r\times m\vec v. Como r⃗⊥v⃗\vec r \perp \vec v:L=m r v=200⋅7,00⋅106⋅9,92⋅103=1,39⋅1013 kg m2 s−1L = m\,r\,v = 200\cdot 7{,}00\cdot 10^{6}\cdot 9{,}92\cdot 10^{3} = 1{,}39\cdot 10^{13}\ \text{kg}\,\text{m}^2\,\text{s}^{-1}La única fuerza sobre el satélite es la gravitatoria, así que su aceleración es el campo gravitatorio en ese punto, dirigido hacia el centro de la Tierra:a=GMTr2=6,67⋅10−11⋅5,97⋅1024(7,00⋅106)2=8,13 m/s2a = \frac{G M_T}{r^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}}{\left(7{,}00\cdot 10^{6}\right)^2} = 8{,}13\ \text{m/s}^2Ojo: no vale v2/rv^2/r (14,1 m/s214{,}1\ \text{m/s}^2), porque la órbita no es una circunferencia de radio rr; esa fórmula solo sirve para órbitas circulares.
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Consejo

No olvides sumar el radio de la Tierra a la altura: en las fórmulas va siempre la distancia al centro, r=RT+hr = R_T + h.

La aceleración de un satélite es siempre GM/r2GM/r^2, sea la órbita circular o elíptica. Solo en la circular coincide con v2/rv^2/r.
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