FísicaMedioProblema · 2 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Comunidad de Madrid · 2024 · Junio
Enunciado
La distancia del satélite Halimede a Neptuno, planeta alrededor del cual orbita, varía entre 12 y 21 millones de km.

a) Calcule el trabajo realizado por la atracción gravitatoria de Neptuno sobre Halimede en el tránsito del punto más próximo al más distante de la órbita.

b) Sabiendo que la energía mecánica de Halimede vale −2,5⋅1020 J-2{,}5\cdot 10^{20}\ \text{J}, determine la velocidad máxima que alcanza en su órbita.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}; Masa de Halimede, MH=1,60⋅1015 kgM_H = 1{,}60\cdot 10^{15}\ \text{kg}; Masa de Neptuno, MN=1,02⋅1026 kgM_N = 1{,}02\cdot 10^{26}\ \text{kg}.
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Resultado
  Wp→a=−3,89⋅1020 J  \boxed{\;W_{p\to a} = -3{,}89\cdot 10^{20}\ \text{J}\;}  vmaˊx≈906 m/s (en el punto maˊs proˊximo a Neptuno)  \boxed{\;v_{\text{máx}} \approx 906\ \text{m/s}\ \text{(en el punto más próximo a Neptuno)}\;}
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Estrategia

Halimede describe una elipse con Neptuno en uno de los focos: la distancia más corta (12 millones de km) es el punto más próximo y la más larga (21 millones de km), el más lejano.

La fuerza gravitatoria es conservativa, así que su trabajo no depende del camino: basta restar energías potenciales, W=−ΔEpW = -\Delta E_p. Al alejarse, el satélite «sube» en el pozo de potencial y la gravedad frena su movimiento, así que el trabajo saldrá negativo.

Para la velocidad máxima usamos la conservación de la energía mecánica: donde la energía potencial es más negativa (el punto más próximo) la cinética es mayor. Es lo mismo que dice la segunda ley de Kepler: el satélite va más deprisa cerca del planeta.
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Desarrollo

a) Pasamos las distancias al SI:rp=12⋅106 km=1,2⋅1010 mra=21⋅106 km=2,1⋅1010 mr_p = 12\cdot 10^{6}\ \text{km} = 1{,}2\cdot 10^{10}\ \text{m}\qquad r_a = 21\cdot 10^{6}\ \text{km} = 2{,}1\cdot 10^{10}\ \text{m}El producto que aparece en todas las energías potenciales es:G MN MH=6,67⋅10−11⋅1,02⋅1026⋅1,60⋅1015=1,089⋅1031 N m2G\,M_N\,M_H = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}02\cdot 10^{26}\cdot 1{,}60\cdot 10^{15} = 1{,}089\cdot 10^{31}\ \text{N}\,\text{m}^2Como la fuerza gravitatoria es conservativa, su trabajo entre el punto más próximo (pp) y el más lejano (aa) es menos la variación de energía potencial:Wp→a=−(Ep,a−Ep,p)=−(−GMNMHra+GMNMHrp)=GMNMH(1ra−1rp)W_{p\to a} = -\left(E_{p,a} - E_{p,p}\right) = -\left(-\frac{G M_N M_H}{r_a} + \frac{G M_N M_H}{r_p}\right) = G M_N M_H\left(\frac{1}{r_a} - \frac{1}{r_p}\right)Wp→a=1,089⋅1031(12,1⋅1010−11,2⋅1010)=1,089⋅1031⋅(−3,571⋅10−11)=−3,89⋅1020 JW_{p\to a} = 1{,}089\cdot 10^{31}\left(\frac{1}{2{,}1\cdot 10^{10}} - \frac{1}{1{,}2\cdot 10^{10}}\right) = 1{,}089\cdot 10^{31}\cdot\left(-3{,}571\cdot 10^{-11}\right) = -3{,}89\cdot 10^{20}\ \text{J}El signo negativo indica que la gravedad se opone al alejamiento: Halimede pierde 3,89⋅1020 J3{,}89\cdot 10^{20}\ \text{J} de energía cinética entre el punto más próximo y el más lejano.

b) La energía mecánica se conserva y vale E=Ec+EpE = E_c + E_p. La velocidad es máxima donde EpE_p es mínima (más negativa), es decir, en el punto más próximo, rpr_p:Ep,p=−GMNMHrp=−1,089⋅10311,2⋅1010=−9,07⋅1020 JE_{p,p} = -\frac{G M_N M_H}{r_p} = -\frac{1{,}089\cdot 10^{31}}{1{,}2\cdot 10^{10}} = -9{,}07\cdot 10^{20}\ \text{J}Ec,maˊx=E−Ep,p=−2,5⋅1020−(−9,07⋅1020)=6,57⋅1020 JE_{c,\text{máx}} = E - E_{p,p} = -2{,}5\cdot 10^{20} - \left(-9{,}07\cdot 10^{20}\right) = 6{,}57\cdot 10^{20}\ \text{J}Despejamos la velocidad de Ec=12MHv2E_c = \tfrac12 M_H v^2:vmaˊx=2 Ec,maˊxMH=2⋅6,57⋅10201,60⋅1015=906 m/sv_{\text{máx}} = \sqrt{\frac{2\,E_{c,\text{máx}}}{M_H}} = \sqrt{\frac{2\cdot 6{,}57\cdot 10^{20}}{1{,}60\cdot 10^{15}}} = 906\ \text{m/s}
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Consejo

El trabajo de la gravedad es W=−ΔEpW = -\Delta E_p: energía potencial inicial menos final. Si lo escribes al revés te sale positivo, y alejarse de un planeta nunca lo «ayuda» la gravedad.

En una órbita elíptica la velocidad máxima está siempre en el punto más cercano (perihelio, perigeo…). No hace falta la ecuación de la elipse: basta la conservación de la energía.

Si lo compruebas con la fórmula de la elipse, E=−GMmrp+raE = -\dfrac{GMm}{r_p + r_a}, sale −3,30⋅1020 J-3{,}30\cdot 10^{20}\ \text{J} y no los −2,5⋅1020 J-2{,}5\cdot 10^{20}\ \text{J} del enunciado: los datos no son del todo coherentes entre sí. En el examen usa el dato que te dan, como aquí.
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