FísicaDifícil2 pts

Luz: reflexión, refracción y ondas electromagnéticas

Comunidad de Madrid · 2024 · Julio (coincidentes)

Enunciado

El núcleo de una fibra óptica tiene un índice de refracción

n_1 = 1{,}7

y está recubierta por un material de índice de refracción

n_2 = 1{,}2

que tiene un espesor

e = 0{,}1\,\text{mm}

(ver figura). En el núcleo hay un rayo que incide sobre la frontera con el recubrimiento con un ángulo

\theta = 35^\circ

. Halle:

Fibra óptica en corte: el núcleo, de índice n1, entre dos capas de recubrimiento de índice n2 y espesor e; por fuera, aire. Un rayo sube por el núcleo y llega a la frontera con el recubrimiento formando un ángulo θ con la normal (línea discontinua vertical)

a) El ángulo con el que el rayo sale del recubrimiento al aire.

b) El tiempo que tarda el rayo en atravesar el recubrimiento de la fibra.

Datos: Velocidad de la luz en el vacío,

c = 3\cdot 10^{8}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

; Índice de refracción del aire,

n_{aire} = 1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\theta_{salida} = 77{,}2^\circ\ \text{(con la normal)}\;}

\boxed{\;t = 6{,}86\cdot 10^{-13}\ \text{s}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El recubrimiento es una lámina de caras paralelas entre el núcleo y el aire. Aplicamos la ley de Snell dos veces, con los ángulos medidos desde la normal (perpendicular a las capas): en la frontera núcleo-recubrimiento sale el ángulo

\theta_2

dentro del recubrimiento, que es a su vez el ángulo de incidencia en la frontera recubrimiento-aire.

Antes conviene comprobar que el rayo pasa: de un medio de más índice a otro de menos hay ángulo límite,

\text{sen}\,\theta_L = n_2/n_1

.

En b) el rayo cruza el recubrimiento inclinado

\theta_2

, así que recorre

e/\cos\theta_2

(más que el espesor), a la velocidad

c/n_2

Desarrollo

a) Ángulo límite núcleo-recubrimiento:

\text{sen}\,\theta_L = 1{,}2/1{,}7 = 0{,}706

\theta_L = 44{,}9^\circ

. Como

35^\circ < 44{,}9^\circ

, el rayo no se refleja totalmente: pasa al recubrimiento.

Snell en la primera frontera:

n_1\,\text{sen}\,\theta = n_2\,\text{sen}\,\theta_2\quad\Longrightarrow\quad \text{sen}\,\theta_2 = \frac{1{,}7\,\text{sen}\,35^\circ}{1{,}2} = \frac{0{,}975}{1{,}2} = 0{,}813\quad\Longrightarrow\quad \theta_2 = 54{,}3^\circ

Las caras son paralelas, así que el rayo llega a la frontera con el aire con ese mismo ángulo. Snell en la segunda frontera:

n_2\,\text{sen}\,\theta_2 = n_{aire}\,\text{sen}\,\theta_3\quad\Longrightarrow\quad \text{sen}\,\theta_3 = 1{,}2\cdot 0{,}813 = 0{,}975\quad\Longrightarrow\quad \theta_3 = 77{,}2^\circ

El rayo sale al aire formando

77{,}2^\circ

con la normal (casi rasante). Fíjate en que

\text{sen}\,\theta_3 = n_1\,\text{sen}\,\theta

: el recubrimiento no influye en el ángulo final, solo desplaza el rayo.

b) Longitud del recorrido dentro del recubrimiento, de espesor

e = 1\cdot 10^{-4}\,\text{m}

L = \frac{e}{\cos\theta_2} = \frac{1\cdot 10^{-4}}{\cos 54{,}3^\circ} = \frac{1\cdot 10^{-4}}{0{,}583} = 1{,}716\cdot 10^{-4}\ \text{m}

Velocidad de la luz en el recubrimiento y tiempo:

v_2 = \frac{c}{n_2} = \frac{3\cdot 10^{8}}{1{,}2} = 2{,}5\cdot 10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\qquad t = \frac{L}{v_2} = \frac{1{,}716\cdot 10^{-4}}{2{,}5\cdot 10^{8}} = 6{,}86\cdot 10^{-13}\ \text{s}

Menos de un picosegundo.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al pasar a un medio de menor índice, comprueba primero el ángulo límite: si el ángulo de incidencia lo supera, no hay refracción sino reflexión total (que es justo lo que se busca en una fibra óptica para guiar la luz).

El camino dentro de una lámina inclinada es $e/\cos\theta$ , no $e$ . Y en una lámina de caras paralelas el producto $n\,\text{sen}\,\theta$ se conserva de un medio a otro.