FísicaMedioProblema · 2 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Comunidad de Madrid · 2024 · Julio
Enunciado
Dos planetas de masas iguales orbitan en torno a una estrella de masa mucho mayor. El primero de los planetas tiene una órbita circular de radio 1,2⋅1011 m1{,}2\cdot 10^{11}\,\text{m} y un período de 3 años. El segundo planeta sigue una órbita elíptica tal que la distancia más próxima a la estrella es de 1,0⋅1011 m1{,}0\cdot 10^{11}\,\text{m} y la más lejana de 1,8⋅1011 m1{,}8\cdot 10^{11}\,\text{m}.

a) Determine la masa de la estrella y el período del segundo planeta.

b) Calcule la velocidad orbital del primer planeta y, sabiendo que su energía mecánica en su órbita circular es de −3,8⋅1030 J-3{,}8\cdot 10^{30}\,\text{J}, halle la masa de los planetas.

Dato: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}.
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Resultado
  ME=1,14⋅1029 kgT2=1,19⋅108 s≈3,78 an˜os  \boxed{\;M_E = 1{,}14\cdot 10^{29}\ \text{kg}\qquad T_2 = 1{,}19\cdot 10^{8}\ \text{s} \approx 3{,}78\ \text{años}\;}  v1=7,97⋅103 m s−1m=1,20⋅1023 kg  \boxed{\;v_1 = 7{,}97\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\qquad m = 1{,}20\cdot 10^{23}\ \text{kg}\;}
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Estrategia

El primer planeta describe una órbita circular: la fuerza gravitatoria es la centrípeta, y con su radio y su periodo se despeja la masa de la estrella (es la tercera ley de Kepler). Para el segundo, la tercera ley de Kepler con el semieje mayor de su elipse, que es la media de la distancia mínima y la máxima, da el periodo; también se puede comparar directamente con el primero.

En b) la velocidad sale de dividir la longitud de la órbita entre el periodo. En una órbita circular la energía mecánica es la mitad de la potencial, E=−12mv2E = -\tfrac12 m v^2, de donde se despeja la masa del planeta.
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Desarrollo

a) Pasamos el periodo a segundos (tomamos el año de 365 días):T1=3⋅365⋅86400=9,46⋅107 sT_1 = 3\cdot 365\cdot 86400 = 9{,}46\cdot 10^{7}\ \text{s}En la órbita circular la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta, con v=2πr1/T1v = 2\pi r_1/T_1:GME mr12=m 4π2r1T12⟹ME=4π2r13G T12\frac{G M_E\,m}{r_1^2} = m\,\frac{4\pi^2 r_1}{T_1^2} \quad\Longrightarrow\quad M_E = \frac{4\pi^2 r_1^3}{G\,T_1^2}ME=4π2 (1,2⋅1011)36,67⋅10−11 (9,46⋅107)2=1,14⋅1029 kgM_E = \frac{4\pi^2\,(1{,}2\cdot 10^{11})^3}{6{,}67\cdot 10^{-11}\,(9{,}46\cdot 10^{7})^2} = 1{,}14\cdot 10^{29}\ \text{kg}El semieje mayor de la órbita del segundo planeta:a=rmıˊn+rmaˊx2=1,0⋅1011+1,8⋅10112=1,4⋅1011 ma = \frac{r_{\text{mín}} + r_{\text{máx}}}{2} = \frac{1{,}0\cdot 10^{11} + 1{,}8\cdot 10^{11}}{2} = 1{,}4\cdot 10^{11}\ \text{m}Tercera ley de Kepler:T2=4π2a3GME=4π2 (1,4⋅1011)36,67⋅10−11⋅1,14⋅1029=1,19⋅108 s≈3,78 an˜osT_2 = \sqrt{\frac{4\pi^2 a^3}{G M_E}} = \sqrt{\frac{4\pi^2\,(1{,}4\cdot 10^{11})^3}{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}14\cdot 10^{29}}} = 1{,}19\cdot 10^{8}\ \text{s} \approx 3{,}78\ \text{años}Comprobación rápida comparando los dos planetas, que orbitan la misma estrella:T2T1=(ar1)3/2=(1,41,2)3/2=1,26⟹T2=1,26⋅3=3,78 an˜os\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{a}{r_1}\right)^{3/2} = \left(\frac{1{,}4}{1{,}2}\right)^{3/2} = 1{,}26 \quad\Longrightarrow\quad T_2 = 1{,}26\cdot 3 = 3{,}78\ \text{años}b) Velocidad orbital del primer planeta:v1=2πr1T1=2π⋅1,2⋅10119,46⋅107=7,97⋅103 m s−1v_1 = \frac{2\pi r_1}{T_1} = \frac{2\pi\cdot 1{,}2\cdot 10^{11}}{9{,}46\cdot 10^{7}} = 7{,}97\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}En una órbita circular, de la condición de la órbita, GME mr1=m v12\dfrac{G M_E\,m}{r_1} = m\,v_1^2, así que la energía mecánica queda:E=12mv12−GME mr1=12mv12−mv12=−12mv12E = \tfrac12 m v_1^2 - \frac{G M_E\,m}{r_1} = \tfrac12 m v_1^2 - m v_1^2 = -\tfrac12 m v_1^2Despejamos la masa del planeta:m=−2Ev12=2⋅3,8⋅1030(7,97⋅103)2=1,20⋅1023 kgm = \frac{-2E}{v_1^2} = \frac{2\cdot 3{,}8\cdot 10^{30}}{(7{,}97\cdot 10^{3})^2} = 1{,}20\cdot 10^{23}\ \text{kg}Como los dos planetas tienen la misma masa, ese es el valor para ambos.
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Consejo

En una órbita elíptica, Kepler se aplica con el semieje mayor, la media de las distancias mínima y máxima, no con ninguna de las dos por separado.

Recuerda la relación de la órbita circular: Ec=−12EpE_c = -\tfrac12 E_p y E=−EcE = -E_c. Te ahorra calcular la energía potencial: con la velocidad y la energía mecánica sale la masa directamente.
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