Campo y potencial eléctrico

a) Carga $q_1 = 2\cdot 10^{-9}\,\text{C}$ en el origen. El vector que va de $q_1$ a $P$ es $(2,\,2)\,\text{m}$, de módulo $r_1 = \sqrt{8}\,\text{m}$:$$E_1 = K\frac{q_1}{r_1^2} = 9\cdot 10^{9}\cdot\frac{2\cdot 10^{-9}}{8} = 2{,}25\ \text{N}\,\text{C}^{-1}\qquad \vec u_1 = \frac{\vec i + \vec j}{\sqrt 2}$$$$\vec E_1 = 1{,}59\,\vec i + 1{,}59\,\vec j\ \ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$Carga $q_2 = 4\cdot 10^{-9}\,\text{C}$ en $(6,\,0)$. El vector que va de $q_2$ a $P$ es $(-4,\,2)\,\text{m}$, de módulo $r_2 = \sqrt{20}\,\text{m}$:$$E_2 = K\frac{q_2}{r_2^2} = 9\cdot 10^{9}\cdot\frac{4\cdot 10^{-9}}{20} = 1{,}80\ \text{N}\,\text{C}^{-1}\qquad \vec u_2 = \frac{-4\,\vec i + 2\,\vec j}{\sqrt{20}}$$$$\vec E_2 = -1{,}61\,\vec i + 0{,}805\,\vec j\ \ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$Sumamos componente a componente:$$\vec E = \vec E_1 + \vec E_2 = -0{,}019\,\vec i + 2{,}40\,\vec j\ \ \text{N}\,\text{C}^{-1}\qquad |\vec E| \approx 2{,}40\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$Las componentes horizontales casi se anulan: el campo resultante apunta prácticamente en el sentido $+y$.

b) Sobre el electrón, $\vec F = q\,\vec E$: la fuerza es nula donde el campo total es nulo. Entre las dos cargas, sobre el eje $x$, el campo de $q_1$ apunta hacia $+x$ y el de $q_2$ hacia $-x$; en el punto $(x,\,0)$ sus módulos deben ser iguales:$$K\frac{q_1}{x^2} = K\frac{q_2}{(6 - x)^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{x^2} = \frac{4}{(6 - x)^2} \quad\Longrightarrow\quad 6 - x = \sqrt 2\,x$$$$x = \frac{6}{1 + \sqrt 2} = 2{,}49\ \text{m}$$El punto es $(2{,}49,\,0)\,\text{m}$, a $3{,}51\,\text{m}$ de $q_2$. Su potencial (con $V_\infty = 0$) es la suma de los de cada carga:$$V_P = K\frac{q_1}{x} + K\frac{q_2}{6 - x} = 9\cdot 10^{9}\left(\frac{2\cdot 10^{-9}}{2{,}49} + \frac{4\cdot 10^{-9}}{3{,}51}\right) = 7{,}24 + 10{,}24 = 17{,}5\ \text{V}$$El trabajo de la fuerza electrostática al traer el electrón ($q = -e$) desde el infinito:$$W_{\infty\to P} = -\Delta E_p = -q\,(V_P - V_\infty) = -(-1{,}6\cdot 10^{-19})\cdot 17{,}5 = 2{,}80\cdot 10^{-18}\ \text{J}$$

El trabajo es positivo: las dos cargas positivas atraen al electrón, así que el campo lo trae «solo» y su energía potencial disminuye.