Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) Pasamos el periodo al SI y calculamos el producto $GM_T$, que aparecerá en todo el problema:$$T = 12\cdot 3600 = 43200\ \text{s}\qquad G M_T = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24} = 3{,}98\cdot 10^{14}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-1}$$Tercera ley de Kepler con el semieje mayor $a$:$$T^2 = \frac{4\pi^2}{G M_T}\,a^3 \quad\Longrightarrow\quad a = \sqrt[3]{\frac{G M_T\,T^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{3{,}98\cdot 10^{14}\cdot 43200^2}{4\pi^2}} = 2{,}66\cdot 10^{7}\ \text{m}$$La distancia del apogeo al centro de la Tierra es la altitud más el radio terrestre:$$r_a = R_T + h_a = 6{,}37\cdot 10^{6} + 3{,}97\cdot 10^{7} = 4{,}607\cdot 10^{7}\ \text{m}$$El eje mayor de la elipse une el perigeo y el apogeo pasando por la Tierra (que está en un foco), así que $2a = r_p + r_a$:$$r_p = 2a - r_a = 2\cdot 2{,}660\cdot 10^{7} - 4{,}607\cdot 10^{7} = 7{,}13\cdot 10^{6}\ \text{m}$$$$h_p = r_p - R_T = 7{,}13\cdot 10^{6} - 6{,}37\cdot 10^{6} = 7{,}6\cdot 10^{5}\ \text{m} \approx 760\ \text{km}$$La fuerza gravitatoria es central, su momento respecto al centro de la Tierra es nulo y el momento angular se conserva. En el perigeo y en el apogeo la velocidad es perpendicular al radio, así que $L = m\,r\,v$ en ambos puntos:$$m\,r_p\,v_p = m\,r_a\,v_a \quad\Longrightarrow\quad \frac{v_p}{v_a} = \frac{r_a}{r_p} = \frac{4{,}607\cdot 10^{7}}{7{,}13\cdot 10^{6}} = 6{,}46$$b) Planteamos la conservación de la energía mecánica entre el perigeo y el apogeo (la masa del satélite se simplifica):$$\tfrac12 v_p^2 - \frac{G M_T}{r_p} = \tfrac12 v_a^2 - \frac{G M_T}{r_a}$$Sustituimos $v_a = v_p\,r_p/r_a$ y despejamos $v_p$:$$v_p^2\left[1 - \left(\frac{r_p}{r_a}\right)^2\right] = 2 G M_T\left(\frac{1}{r_p} - \frac{1}{r_a}\right)$$Con los números, $\left(r_p/r_a\right)^2 = 0{,}0240$ y $\frac{1}{r_p} - \frac{1}{r_a} = 1{,}402\cdot 10^{-7} - 2{,}17\cdot 10^{-8} = 1{,}185\cdot 10^{-7}\ \text{m}^{-1}$:$$v_p^2 = \frac{2\cdot 3{,}98\cdot 10^{14}\cdot 1{,}185\cdot 10^{-7}}{0{,}976} = 9{,}67\cdot 10^{7}\ \text{m}^2\,\text{s}^{-2} \quad\Longrightarrow\quad v_p = 9{,}83\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$(En el apogeo va mucho más despacio: $v_a = v_p/6{,}46 = 1{,}52\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$.)

En una órbita circular de radio $r_p$ la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta:$$\frac{G M_T\,m}{r_p^2} = \frac{m\,v_c^2}{r_p} \quad\Longrightarrow\quad v_c = \sqrt{\frac{G M_T}{r_p}} = \sqrt{\frac{3{,}98\cdot 10^{14}}{7{,}13\cdot 10^{6}}} = 7{,}47\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Como $v_c < v_p$, al pasar por el perigeo hay que frenar el satélite de $9{,}83$ a $7{,}47\ \text{km}\,\text{s}^{-1}$ (unos $2{,}36\ \text{km}\,\text{s}^{-1}$ menos): con menos energía, la órbita se cierra en una circunferencia de radio $r_p$.