FísicaDifícilProblema · 2,5 pts

Radiactividad y desintegración

Andalucía · 2024 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

a) i) Describa las características de las emisiones radiactivas

\gamma

. ii) El

^{232}_{90}\text{Th}

se desintegra mediante emisiones

\alpha

\beta

^{208}_{82}\text{Pb}

. Escriba la ecuación nuclear correspondiente y deduzca el número de partículas

\alpha

\beta

emitidas.

b) El yodo-131 es un isótopo radiactivo con un periodo de semidesintegración de

8

días utilizado para el tratamiento de enfermedades de la glándula tiroides. Se dispone de una muestra de yodo-131 con una actividad inicial de

7{,}6\cdot 10^{16}\,\text{Bq}

. Determine razonadamente: i) la masa de la muestra inicial; ii) el número de núcleos que se han desintegrado después de

25

días; iii) la actividad de la muestra transcurrido ese periodo de tiempo.

Datos:

m(^{131}_{53}\text{I}) = 130{,}906125\,\text{u}

;

1\,\text{u} = 1{,}66\cdot 10^{-27}\,\text{kg}

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Resultado

\boxed{\;^{232}_{90}\text{Th} \longrightarrow \,^{208}_{82}\text{Pb} + 6\,^{4}_{2}\alpha + 4\,^{0}_{-1}\beta\;}

\boxed{\;m_0 = 16{,}5\ \text{g}\qquad N_{\text{desint}} = 6{,}71\cdot 10^{22}\ \text{núcleos}\qquad A(25\ \text{d}) = 8{,}71\cdot 10^{15}\ \text{Bq}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) ii) el truco está en usar las dos conservaciones por separado: el número másico solo lo cambian las

\alpha

(cada una resta

4

), así que de ahí sale directamente cuántas hay. Con ese dato, el número atómico revela cuántas

\beta

hacen falta para cuadrar.

En b) hay que ir en el orden correcto: de la actividad inicial se obtiene el número de núcleos (con

A = \lambda N

), y de ahí la masa. El apartado ii) pide los núcleos desintegrados, que son

N_0 - N(t)

, no

N(t)

Desarrollo

a) i) La radiación

\gamma

es radiación electromagnética de muy alta frecuencia (mayor que la de los rayos X), emitida por un núcleo que queda en un estado excitado tras una desintegración

\alpha

\beta

.

Características principales:

No tiene carga ni masa en reposo: son fotones.
Por tanto, no modifica ni $A$ ni $Z$ : el núcleo no se transmuta, solo pierde energía de excitación.
Es la más penetrante de las tres radiaciones (hacen falta espesores grandes de plomo u hormigón para atenuarla), pero la menos ionizante.
No se desvía por campos eléctricos ni magnéticos, precisamente por no tener carga.
Se propaga a la velocidad de la luz.

a) ii) Escribimos la desintegración global:

^{232}_{90}\text{Th} \;\longrightarrow\; ^{208}_{82}\text{Pb} + x\,^{4}_{2}\alpha + y\,^{0}_{-1}\beta

Conservación del número másico (las

\beta

no lo cambian):

232 = 208 + 4x \quad\Longrightarrow\quad 4x = 24 \quad\Longrightarrow\quad x = 6

Conservación del número atómico:

90 = 82 + 2x + (-1)\,y = 82 + 12 - y \quad\Longrightarrow\quad y = 4

Se emiten 6 partículas $\alpha$ y 4 partículas $\beta^-$ :

^{232}_{90}\text{Th} \;\longrightarrow\; ^{208}_{82}\text{Pb} + 6\,^{4}_{2}\text{He} + 4\,^{0}_{-1}\text{e}

b) i) Constante de desintegración, con el periodo en segundos:

T_{1/2} = 8\ \text{días} = 8\cdot 86400 = 6{,}91\cdot 10^{5}\ \text{s}

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{6{,}91\cdot 10^{5}} = 1{,}003\cdot 10^{-6}\ \text{s}^{-1}

De la definición de actividad,

A_0 = \lambda N_0

N_0 = \frac{A_0}{\lambda} = \frac{7{,}6\cdot 10^{16}}{1{,}003\cdot 10^{-6}} = 7{,}58\cdot 10^{22}\ \text{núcleos}

Cada núcleo tiene una masa de

130{,}906125\cdot 1{,}66\cdot 10^{-27} = 2{,}17\cdot 10^{-25}\,\text{kg}

, luego

m_0 = N_0\cdot m_{\text{núcleo}} = 7{,}58\cdot 10^{22}\cdot 2{,}17\cdot 10^{-25}

m_0 = 1{,}65\cdot 10^{-2}\ \text{kg} = 16{,}5\ \text{g}

b) ii) Tras

t = 25

días, la fracción que queda es

\frac{N}{N_0} = e^{-\lambda t} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{25/8} = \left(\frac{1}{2}\right)^{3{,}125} = 0{,}115

N(25) = 0{,}115\cdot 7{,}58\cdot 10^{22} = 8{,}69\cdot 10^{21}\ \text{núcleos}

Los núcleos desintegrados son los que faltan:

N_{\text{desint}} = N_0 - N(25) = 7{,}58\cdot 10^{22} - 8{,}69\cdot 10^{21}

N_{\text{desint}} = 6{,}71\cdot 10^{22}\ \text{núcleos}

(un

88{,}5\,\%

de la muestra).

b) iii) La actividad es proporcional al número de núcleos, así que decae con la misma exponencial:

A(25) = A_0\,e^{-\lambda t} = 7{,}6\cdot 10^{16}\cdot 0{,}115

A(25) = 8{,}71\cdot 10^{15}\ \text{Bq}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a) ii) empieza siempre por el número másico: como las $\beta$ no lo tocan, te da las $\alpha$ de un tirón. Si intentas resolver las dos ecuaciones a la vez te lías.

En b) ii) te piden los núcleos desintegrados, que son $N_0 - N(t)$ . Dar $N(t)$ (los que quedan) es el fallo más repetido del apartado. Y para la masa, pasa $T_{1/2}$ a segundos, porque la actividad viene en becquerelios.

Paso 1 de 3

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