Radiactividad y desintegración

a) i) La ley de desintegración radiactiva establece que el número de núcleos que se desintegran por unidad de tiempo es proporcional al número de núcleos presentes:$$-\frac{dN}{dt} = \lambda\,N$$Integrando se obtiene la forma exponencial:$$N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$$donde:

• $N(t)$: número de núcleos sin desintegrar en el instante $t$ (adimensional).
• $N_0$: número de núcleos iniciales.
• $\lambda$: constante de desintegración, característica de cada isótopo, en $\text{s}^{-1}$. Representa la probabilidad de que un núcleo se desintegre por unidad de tiempo.
• $t$: tiempo transcurrido, en segundos (s).

El periodo de semidesintegración $T_{1/2}$ se define como el tiempo que debe transcurrir para que quede la mitad de los núcleos iniciales. Imponiendo $N = N_0/2$:$$\frac{N_0}{2} = N_0\,e^{-\lambda T_{1/2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2} = e^{-\lambda T_{1/2}} \quad\Longrightarrow\quad \ln 2 = \lambda\,T_{1/2}$$$$\boxed{T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}}$$a) ii) La actividad es proporcional al número de núcleos ($A = \lambda N$), así que decae con la misma exponencial. Tras $t = 5\,T_{1/2}$:$$\frac{A}{A_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{5} = \frac{1}{32} = 0{,}03125$$Queda el $3{,}125\,\%$ de la actividad inicial (se ha desintegrado el $96{,}875\,\%$).

b) i) Constante de desintegración:$$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{5{,}27\ \text{años}} = 0{,}132\ \text{años}^{-1}$$En unidades del S.I., con $1\ \text{año} \approx 3{,}15\cdot 10^{7}\,\text{s}$:$$T_{1/2} = 5{,}27\cdot 3{,}15\cdot 10^{7} = 1{,}66\cdot 10^{8}\ \text{s} \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{0{,}693}{1{,}66\cdot 10^{8}} = 4{,}17\cdot 10^{-9}\ \text{s}^{-1}$$b) ii) Como todos los núcleos tienen la misma masa, la masa decae igual que el número de núcleos. Partiendo de $m_0 = 6\,\text{g}$ y con $t = 27$ años:$$\lambda t = 0{,}132\cdot 27 = 3{,}55 \qquad e^{-3{,}55} = 0{,}0287$$$$m(27) = 6\cdot 0{,}0287 = 0{,}172\ \text{g}$$Los gramos desintegrados son los que faltan:$$m_{\text{desint}} = m_0 - m(27) = 6 - 0{,}172$$$$m_{\text{desint}} = 5{,}83\ \text{g}$$(Comprobación: $27$ años son algo más de $5$ periodos, y cinco periodos dejarían $6/32 = 0{,}19\,\text{g}$. ✓)

b) iii) Número de núcleos que quedan tras esos $27$ años. La masa de un núcleo es$$m_{\text{núcleo}} = 59{,}933822\cdot 1{,}66\cdot 10^{-27} = 9{,}95\cdot 10^{-26}\ \text{kg}$$$$N(27) = \frac{0{,}172\cdot 10^{-3}\ \text{kg}}{9{,}95\cdot 10^{-26}\ \text{kg}} = 1{,}73\cdot 10^{21}\ \text{núcleos}$$Actividad, usando $\lambda$ en $\text{s}^{-1}$:$$A = \lambda\,N = 4{,}17\cdot 10^{-9}\cdot 1{,}73\cdot 10^{21}$$$$A = 7{,}22\cdot 10^{12}\ \text{Bq}$$