Radiactividad y desintegración

a) i) El periodo de semidesintegración $T_{1/2}$ (o semivida) es el tiempo que debe transcurrir para que el número de núcleos radiactivos de una muestra se reduzca a la mitad.

Es una característica de cada isótopo, independiente de la cantidad de muestra, de la temperatura o de la presión: cada núcleo tiene la misma probabilidad de desintegrarse por unidad de tiempo, y esa probabilidad no cambia con el tiempo (los núcleos "no envejecen"). Tras un periodo queda la mitad; tras dos, la cuarta parte; tras tres, la octava, y así sucesivamente.

a) ii) Partimos de la ley de desintegración radiactiva:$$N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$$Por definición, en $t = T_{1/2}$ queda la mitad de los núcleos, $N = N_0/2$:$$\frac{N_0}{2} = N_0\,e^{-\lambda T_{1/2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2} = e^{-\lambda T_{1/2}}$$Tomando logaritmos neperianos en ambos miembros:$$\ln\frac{1}{2} = -\lambda\,T_{1/2} \quad\Longrightarrow\quad -\ln 2 = -\lambda\,T_{1/2}$$$$\boxed{T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}}$$Periodo y constante radiactiva son, por tanto, inversamente proporcionales: cuanto mayor es $\lambda$ (más probable la desintegración), más corta es la semivida.

b) Constante radiactiva del cobalto-60:$$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{5{,}27} = 0{,}132\ \text{años}^{-1}$$b) i) Si se desintegran $4/5$ de los núcleos, queda $1/5$:$$\frac{N}{N_0} = \frac{1}{5} = e^{-\lambda t}$$$$t = \frac{\ln 5}{\lambda} = \frac{1{,}609}{0{,}132}$$$$t = 12{,}2\ \text{años}$$(Comprobación: $12{,}2$ años son unos $2{,}3$ periodos, y $(1/2)^{2{,}3} \approx 0{,}20 = 1/5$. ✓)

b) ii) Como todos los núcleos tienen la misma masa, la masa de la muestra decae con la misma exponencial:$$m(t) = m_0\,e^{-\lambda t}$$Con $m_0 = 150\,\text{g}$ y $t = 50$ años:$$\lambda t = 0{,}132\cdot 50 = 6{,}58 \qquad e^{-6{,}58} = 1{,}39\cdot 10^{-3}$$$$m(50) = 150\cdot 1{,}39\cdot 10^{-3}$$$$m(50) = 0{,}209\ \text{g} \approx 0{,}21\ \text{g}$$De los $150\,\text{g}$ iniciales apenas quedan $0{,}2\,\text{g}$: han transcurrido casi $9{,}5$ periodos de semidesintegración.