FísicaMedioProblema · 2 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

También trata: Campo y potencial gravitatorio
Comunidad de Madrid · 2023 · Junio
Enunciado
En la película Space Cowboys un amenazador satélite militar orbita alrededor de la Tierra a una altura de 1600 km1600\ \text{km} sobre la superficie terrestre.
Esquema con la Tierra a la izquierda y la Luna a la derecha; d es la distancia entre sus centros y x la distancia del centro de la Tierra al satélite, que está sobre la línea que une ambos centros
Esquema con la Tierra a la izquierda y la Luna a la derecha; d es la distancia entre sus centros y x la distancia del centro de la Tierra al satélite, que está sobre la línea que une ambos centros
a) Calcule la velocidad orbital del satélite y el tiempo que tarda en dar una vuelta completa alrededor de la Tierra. Desprecie en este apartado la interacción gravitatoria de la Luna.

b) Para evitar que el satélite caiga a la Tierra se decide impulsarlo hacia la Luna. Determine la distancia xx al centro de la Tierra, tal y como se muestra en la figura, a la que tendrá que llegar el satélite, para que el efecto del campo gravitatorio lunar sea superior al del campo gravitatorio terrestre.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}; Masa de la Tierra, MT=5,97⋅1024 kgM_T = 5{,}97\cdot 10^{24}\ \text{kg}; Radio de la Tierra, RT=6,37⋅103 kmR_T = 6{,}37\cdot 10^{3}\ \text{km}; Masa de la Luna, ML=7,35⋅1022 kgM_L = 7{,}35\cdot 10^{22}\ \text{kg}; Distancia de la Tierra a la Luna, d=3,84⋅105 kmd = 3{,}84\cdot 10^{5}\ \text{km}.
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Resultado
  v=7,07⋅103 m/sT=7,08⋅103 s≈1,97 h  \boxed{\;v = 7{,}07\cdot 10^{3}\ \text{m/s}\qquad T = 7{,}08\cdot 10^{3}\ \text{s} \approx 1{,}97\ \text{h}\;}  x>3,46⋅108 m  \boxed{\;x > 3{,}46\cdot 10^{8}\ \text{m}\;}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

En a) es una órbita circular de manual: la atracción de la Tierra hace de fuerza centrípeta, y de ahí sale la velocidad orbital. El periodo es lo que tarda en recorrer la circunferencia a esa velocidad. Ojo con las unidades: los datos vienen en kilómetros.

En b) el satélite viaja por la línea que une los centros de la Tierra y la Luna. Los dos campos apuntan en sentidos opuestos: el terrestre hacia la Tierra y el lunar hacia la Luna. Buscamos el punto en el que los dos tienen el mismo módulo; a partir de ahí, más cerca de la Luna, gana el campo lunar.
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Desarrollo

a) Radio de la órbita:r=RT+h=6,37⋅106+1,6⋅106=7,97⋅106 mr = R_T + h = 6{,}37\cdot 10^{6} + 1{,}6\cdot 10^{6} = 7{,}97\cdot 10^{6}\ \text{m}Igualando la fuerza gravitatoria a la centrípeta:GMTmr2=mv2r⇒v=GMTr=6,67⋅10−11⋅5,97⋅10247,97⋅106=7,07⋅103 m/s\frac{G M_T m}{r^2} = \frac{m v^2}{r} \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}} = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}}{7{,}97\cdot 10^{6}}} = 7{,}07\cdot 10^{3}\ \text{m/s}Periodo:T=2πrv=2π⋅7,97⋅1067,07⋅103=7,08⋅103 s≈1,97 hT = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi\cdot 7{,}97\cdot 10^{6}}{7{,}07\cdot 10^{3}} = 7{,}08\cdot 10^{3}\ \text{s} \approx 1{,}97\ \text{h}
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
b) Sobre la recta Tierra-Luna, a una distancia xx del centro de la Tierra (y, por tanto, d−xd - x del centro de la Luna), los módulos de los dos campos son:gT=GMTx2gL=GML(d−x)2g_T = \frac{G M_T}{x^2} \qquad g_L = \frac{G M_L}{(d - x)^2}En el punto frontera los dos son iguales:GMTx2=GML(d−x)2⇒d−xx=MLMT=7,35⋅10225,97⋅1024=0,111\frac{G M_T}{x^2} = \frac{G M_L}{(d - x)^2} \quad\Rightarrow\quad \frac{d - x}{x} = \sqrt{\frac{M_L}{M_T}} = \sqrt{\frac{7{,}35\cdot 10^{22}}{5{,}97\cdot 10^{24}}} = 0{,}111(Al sacar la raíz nos quedamos con la positiva: el punto está entre la Tierra y la Luna, donde los dos campos tienen sentidos opuestos.) Despejando:x=d1+ML/MT=3,84⋅1081,111=3,46⋅108 mx = \frac{d}{1 + \sqrt{M_L/M_T}} = \frac{3{,}84\cdot 10^{8}}{1{,}111} = 3{,}46\cdot 10^{8}\ \text{m}En ese punto el campo total es nulo. Para x>3,46⋅108 mx > 3{,}46\cdot 10^{8}\ \text{m} (a menos de 3,84⋅108−3,46⋅108=3,8⋅107 m3{,}84\cdot 10^{8} - 3{,}46\cdot 10^{8} = 3{,}8\cdot 10^{7}\ \text{m} del centro de la Luna) el campo lunar es mayor que el terrestre y el satélite es atraído hacia la Luna. Ese punto está a un 90 % del camino: la Luna tiene solo un 1,2 % de la masa de la Tierra, así que hay que acercarse mucho a ella para que «gane».
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Consejo

En el punto de campo nulo entre dos masas, saca la raíz cuadrada en la igualdad antes de despejar: te ahorras la ecuación de segundo grado y la solución sobrante (la que caería fuera del segmento, donde los dos campos van en el mismo sentido y no pueden anularse).

Revisa las unidades: aquí RTR_T y dd vienen en kilómetros, mientras que GG está en el SI.
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