FísicaMedioProblema · 2 pts

Campo y potencial eléctrico

Comunidad de Madrid · 2023 · Junio

Enunciado

Tres cargas

-q

-q

+2q

se encuentran situadas en los puntos del plano

(-a, a)

(a, a)

(0, 0)

, respectivamente, tal y como se describe en la figura. Determine, en función de la constante de Coulomb,

K

, el valor de la carga,

q

, y la distancia,

a

Plano XY con tres cargas: −q en (−a, a), −q en (a, a) y +2q en el origen. Dos superficies cerradas: S1, de trazo discontinuo, encierra la carga −q de (−a, a) y la carga +2q del origen, pero deja fuera la −q de (a, a); S2, de trazo y punto, es una curva grande que encierra las tres cargas

a) La expresión de la fuerza electrostática que se ejerce sobre la carga situada en la posición

(a, a)

y la expresión del trabajo que habrá realizado esa fuerza electrostática para traer la carga

-q

desde el infinito a la posición

(a, a)

.

b) El flujo del campo eléctrico a través de las superficies cerradas

S_1

S_2

.

Dato: Permitividad eléctrica del vacío,

\varepsilon_0 = 1/(4\pi K)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec F = \frac{K q^2}{a^2}\left[\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt 2}{2}\right)\vec i - \frac{\sqrt 2}{2}\,\vec j\right] \approx \frac{K q^2}{a^2}\left(-0{,}457\,\vec i - 0{,}707\,\vec j\right)\;}

\boxed{\;W = \frac{K q^2}{a}\left(\sqrt 2 - \frac{1}{2}\right) \approx 0{,}914\,\frac{K q^2}{a}\;}

\boxed{\;\Phi_{S_1} = 4\pi K q \qquad \Phi_{S_2} = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) la carga de

(a, a)

siente dos fuerzas: la repulsión de la otra carga negativa, que está a su izquierda sobre la misma horizontal, y la atracción de la carga

+2q

del origen, dirigida hacia él. Sumamos las dos como vectores (principio de superposición).

Para el trabajo no hace falta integrar: la fuerza electrostática es conservativa, así que su trabajo es menos la variación de energía potencial. Calculamos el potencial que crean las otras dos cargas en

(a, a)

y lo multiplicamos por la carga que traemos.

En b) aplicamos el teorema de Gauss: el flujo a través de una superficie cerrada solo depende de la carga neta que queda dentro. Basta con mirar en la figura qué cargas encierra cada superficie.

Desarrollo

a) Fuerza de la carga $-q$ situada en $(-a, a)$ . Está a una distancia

2a

y, al ser las dos negativas, la empuja hacia

+x

\vec F_1 = \frac{K\,q\cdot q}{(2a)^2}\,\vec i = \frac{K q^2}{4a^2}\,\vec i

Fuerza de la carga $+2q$ del origen. La distancia es

a\sqrt 2

y, al ser de signos opuestos, la atrae hacia el origen, es decir, en el sentido del vector unitario

-(\vec i + \vec j)/\sqrt 2

\vec F_2 = \frac{K\cdot 2q\cdot q}{(a\sqrt 2)^2}\left(-\frac{\vec i + \vec j}{\sqrt 2}\right) = -\frac{K q^2}{\sqrt 2\,a^2}\left(\vec i + \vec j\right)

Fuerza total:

\vec F = \vec F_1 + \vec F_2 = \frac{K q^2}{a^2}\left[\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt 2}{2}\right)\vec i - \frac{\sqrt 2}{2}\,\vec j\right] \approx \frac{K q^2}{a^2}\left(-0{,}457\,\vec i - 0{,}707\,\vec j\right)

Su módulo es

|\vec F| \approx 0{,}842\,K q^2/a^2

: gana la atracción de la carga central.

Trabajo. Potencial que crean en

(a, a)

las otras dos cargas (origen en el infinito):

V(a,a) = \frac{K(-q)}{2a} + \frac{K(2q)}{a\sqrt 2} = \frac{Kq}{a}\left(\sqrt 2 - \frac{1}{2}\right)

La fuerza electrostática es conservativa, así que su trabajo al traer la carga

q' = -q

desde el infinito (

V_\infty = 0

) es:

W_{\infty\to(a,a)} = -\Delta E_p = q'\,\big(V_\infty - V(a,a)\big) = (-q)\left(0 - \frac{Kq}{a}\left(\sqrt 2 - \frac{1}{2}\right)\right) = \frac{K q^2}{a}\left(\sqrt 2 - \frac{1}{2}\right)

W \approx 0{,}914\,\frac{K q^2}{a}

El trabajo es positivo: la carga es atraída hacia esa posición (pesa más la atracción de

+2q

que la repulsión de

-q

), así que el campo la «lleva» él solo y pierde energía potencial.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

(En la simulación se ha tomado

a = 1\ \text{m}

q = 1\ \text{nC}

; la carga de prueba es la

-q

(a, a)

.)

b) Teorema de Gauss:

\Phi = \oint_S \vec E\cdot d\vec S = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} = 4\pi K\,Q_{\text{int}}

Superficie $S_1$ : encierra la carga

-q

(-a, a)

y la

+2q

del origen; la

-q

(a, a)

queda fuera.

Q_{\text{int},1} = -q + 2q = +q \quad\Rightarrow\quad \Phi_1 = \frac{q}{\varepsilon_0} = 4\pi K q

El flujo es positivo: sale más campo del que entra.

Superficie $S_2$ : encierra las tres cargas.

Q_{\text{int},2} = -q - q + 2q = 0 \quad\Rightarrow\quad \Phi_2 = 0

Que el flujo sea nulo no significa que el campo sea nulo sobre

S_2

: significa que entra tanto flujo como sale.

Consejo

En el trabajo, cuidado con los dos signos: el de la carga que traes ( $-q$ ) y el del potencial. Haz la comprobación física: si la carga es atraída hacia el punto, el trabajo del campo es positivo; si fuera repelida, tendría que hacerlo una fuerza externa y el del campo sería negativo.

En el teorema de Gauss solo cuentan las cargas interiores. La $-q$ que queda fuera de $S_1$ también crea campo sobre esa superficie, pero su flujo neto (lo que entra menos lo que sale) es cero.