FísicaFácilProblema · 2 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Comunidad de Madrid · 2023 · Junio
Enunciado
Un satélite de la constelación OneWeb®, de 150 kg150\,\text{kg} de masa, se encuentra en una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de 1200 km1200\,\text{km} sobre el nivel del mar. Determine:

a) Las energías potencial gravitatoria y cinética que tiene el satélite en su órbita.

b) La energía que fue necesario comunicar al satélite para ponerlo en órbita desde la superficie de la Tierra.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}; Masa de la Tierra, MT=5,97⋅1024 kgM_T = 5{,}97\cdot 10^{24}\ \text{kg}; Radio de la Tierra, RT=6,37⋅106 mR_T = 6{,}37\cdot 10^{6}\ \text{m}.
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Resultado
  Ep=−7,89⋅109 JEc=3,95⋅109 J  \boxed{\;E_p = -7{,}89\cdot 10^{9}\ \text{J}\qquad E_c = 3{,}95\cdot 10^{9}\ \text{J}\;}  ΔE=5,43⋅109 J  \boxed{\;\Delta E = 5{,}43\cdot 10^{9}\ \text{J}\;}
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Estrategia

En una órbita circular la gravedad hace de fuerza centrípeta, y eso fija la velocidad del satélite: la energía cinética resulta ser justo la mitad del valor absoluto de la potencial. Basta con calcular el radio de la órbita (¡desde el centro de la Tierra, no desde la superficie!) y aplicar las dos fórmulas.

Para el apartado b) comparamos dos estados: el satélite en reposo en el suelo (solo energía potencial) y el satélite ya girando en su órbita (potencial + cinética). Lo que hay que darle es la diferencia de energía mecánica entre ambos.
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Desarrollo

a) Radio de la órbita:r=RT+h=6,37⋅106+1,2⋅106=7,57⋅106 mr = R_T + h = 6{,}37\cdot 10^{6} + 1{,}2\cdot 10^{6} = 7{,}57\cdot 10^{6}\ \text{m}Energía potencial gravitatoria (origen en el infinito):Ep=−GMTmr=−6,67⋅10−11⋅5,97⋅1024⋅1507,57⋅106=−7,89⋅109 JE_p = -\frac{G M_T m}{r} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}\cdot 150}{7{,}57\cdot 10^{6}} = -7{,}89\cdot 10^{9}\ \text{J}Para la cinética, igualamos la fuerza gravitatoria a la centrípeta:GMTmr2=mv2r⇒mv2=GMTmr\frac{G M_T m}{r^2} = \frac{m v^2}{r} \quad\Rightarrow\quad m v^2 = \frac{G M_T m}{r}Ec=12mv2=GMTm2r=−Ep2=3,95⋅109 JE_c = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{G M_T m}{2r} = -\frac{E_p}{2} = 3{,}95\cdot 10^{9}\ \text{J}(Corresponde a una velocidad orbital v=GMT/r≈7,25⋅103 m/sv = \sqrt{G M_T / r} \approx 7{,}25\cdot 10^{3}\ \text{m/s}.)
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
b) Energía mecánica en la órbita:Eoˊrb=Ec+Ep=−GMTm2r=−3,95⋅109 JE_{\text{órb}} = E_c + E_p = -\frac{G M_T m}{2r} = -3{,}95\cdot 10^{9}\ \text{J}En la superficie, despreciando la rotación de la Tierra, el satélite está en reposo y solo tiene energía potencial:Esup=−GMTmRT=−6,67⋅10−11⋅5,97⋅1024⋅1506,37⋅106=−9,38⋅109 JE_{\text{sup}} = -\frac{G M_T m}{R_T} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}\cdot 150}{6{,}37\cdot 10^{6}} = -9{,}38\cdot 10^{9}\ \text{J}La energía que hay que comunicarle es la diferencia:ΔE=Eoˊrb−Esup=GMTm(1RT−12r)=−3,95⋅109−(−9,38⋅109)=5,43⋅109 J\Delta E = E_{\text{órb}} - E_{\text{sup}} = G M_T m\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2r}\right) = -3{,}95\cdot 10^{9} - (-9{,}38\cdot 10^{9}) = 5{,}43\cdot 10^{9}\ \text{J}
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Consejo

El error más frecuente es usar la altura hh en lugar del radio r=RT+hr = R_T + h en las fórmulas: todas las distancias de la ley de gravitación se miden desde el centro de la Tierra.

Recuerda la relación de una órbita circular: Ec=−Ep/2E_c = -E_p/2 y Emecaˊnica=Ep/2E_{\text{mecánica}} = E_p/2. Te sirve para comprobar el resultado en un segundo: la energía mecánica de un satélite ligado siempre es negativa.
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