Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) Igualamos la fuerza gravitatoria con la fuerza centrípeta, escribiendo la velocidad como $v = 2\pi r/T$:$$\frac{G M_T m}{r^2} = m\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,r \quad\Rightarrow\quad r^3 = \frac{G M_T T^2}{4\pi^2}$$$$r = \sqrt[3]{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}\cdot 5710^2}{4\pi^2}} = 6{,}90\cdot 10^{6}\ \text{m}$$La altura sobre la superficie es la diferencia con el radio terrestre:$$h = r - R_T = 6{,}90\cdot 10^{6} - 6{,}37\cdot 10^{6} = 5{,}32\cdot 10^{5}\ \text{m} \approx 532\ \text{km}$$En la superficie (en reposo) el satélite solo tiene energía potencial gravitatoria:$$E_{\text{sup}} = -\frac{G M_T m}{R_T} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}\cdot 50}{6{,}37\cdot 10^{6}} = -3{,}13\cdot 10^{9}\ \text{J}$$En la órbita, sumando la energía cinética $\tfrac12 m v^2 = \tfrac{G M_T m}{2r}$ y la potencial, queda la energía mecánica del satélite:$$E_{\text{órb}} = -\frac{G M_T m}{2r} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}\cdot 50}{2\cdot 6{,}90\cdot 10^{6}} = -1{,}44\cdot 10^{9}\ \text{J}$$La energía que hubo que comunicarle es la diferencia:$$\Delta E = E_{\text{órb}} - E_{\text{sup}} = -1{,}44\cdot 10^{9} - \left(-3{,}13\cdot 10^{9}\right) = 1{,}68\cdot 10^{9}\ \text{J}$$b) La velocidad orbital es la longitud de la circunferencia entre el periodo:$$v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi\cdot 6{,}90\cdot 10^{6}}{5710} = 7{,}60\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$$Se obtiene lo mismo con $v = \sqrt{G M_T/r}$, lo que sirve de comprobación. La aceleración centrípeta es:$$a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{\left(7{,}60\cdot 10^{3}\right)^2}{6{,}90\cdot 10^{6}} = 8{,}36\ \text{m/s}^2$$Coincide con la gravedad a esa altura, $G M_T/r^2$: un satélite en órbita está en caída libre continua.