FísicaFácilCuestión · 1 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Castilla-La Mancha · 2023 · Junio
Enunciado
El 20 de julio de 1969, la nave Apolo 11 consiguió alunizar. Calcula la energía mínima que tendrían que aportar los motores a la nave para poder escapar de la gravedad de la Luna, partiendo de su superficie. ¿Cuál será la velocidad de despegue? Deduce las expresiones necesarias.

Datos: G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}; mLuna=7,35⋅1022 kgm_{\text{Luna}} = 7{,}35\cdot 10^{22}\,\text{kg}; rLuna=1,74⋅103 kmr_{\text{Luna}} = 1{,}74\cdot 10^3\,\text{km}; mnave=45,7⋅103 kgm_{\text{nave}} = 45{,}7\cdot 10^3\,\text{kg}.
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Resultado
  Emıˊn=1,29⋅1011 Jve=2,37 km/s  \boxed{\;E_{\text{mín}} = 1{,}29\cdot 10^{11}\ \text{J}\qquad v_e = 2{,}37\ \text{km/s}\;}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Escapar significa llegar al infinito (donde Ep=0E_p = 0) con velocidad nula como mínimo, es decir, con energía mecánica final 00. La energía que hay que aportar es la que le falta a la nave en la superficie para llegar a esa energía mecánica nula.
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Desarrollo

En la superficie, en reposo, la nave tiene Em=−GMLmRLE_m = -\dfrac{G M_L m}{R_L}. Para escapar necesita Em≥0E_m \geq 0, así que la energía mínima que deben aportar los motores esE=GMLmRL=6,67⋅10−11⋅7,35⋅1022⋅45,7⋅1031,74⋅106=1,29⋅1011 JE = \frac{G M_L m}{R_L} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 7{,}35\cdot 10^{22}\cdot 45{,}7\cdot 10^3}{1{,}74\cdot 10^6} = 1{,}29\cdot 10^{11}\ \text{J}Si toda esa energía se le da como cinética al despegar:12mve2−GMLmRL=0⟹ve=2GMLRL=2⋅6,67⋅10−11⋅7,35⋅10221,74⋅106=2,37⋅103 m/s\frac12 m v_e^2 - \frac{G M_L m}{R_L} = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2 G M_L}{R_L}} = \sqrt{\frac{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 7{,}35\cdot 10^{22}}{1{,}74\cdot 10^6}} = 2{,}37\cdot 10^3\ \text{m/s}
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Consejo

La velocidad de escape no depende de la masa de la nave; la energía, sí. Por eso el enunciado da mnavem_{\text{nave}}: la necesitas para la primera pregunta, no para la segunda.
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