FísicaFácilProblema · 3 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Castilla-La Mancha · 2023 · Julio
Enunciado
La Luna tiene una masa de 7,35⋅1022 kg7{,}35\cdot 10^{22}\,\text{kg} y un radio de 1740 km1740\,\text{km}. La nave Artemisa, con una masa de 5000 kg5000\,\text{kg}, orbita alrededor a una distancia de su centro igual a 5 veces el radio de la Luna. Determina de manera razonada y deduciendo las expresiones matemáticas empleadas:

a) El periodo de rotación de la nave, en horas.

b) La energía mecánica de la nave.

c) La velocidad mínima que necesitarán proporcionar los cohetes de la nave para abandonar la superficie de la Luna y volver a la Tierra al terminar la misión.

Dato: G=6,67⋅10−11 N m2kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N m}^2\text{kg}^{-2}
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Resultado
  T=20,2 hEm=−1,41⋅109 Jve=2,37 km/s  \boxed{\;T = 20{,}2\ \text{h}\qquad E_m = -1{,}41\cdot 10^{9}\ \text{J}\qquad v_e = 2{,}37\ \text{km/s}\;}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

En una órbita circular la atracción gravitatoria hace de fuerza centrípeta, de donde salen la velocidad orbital y el periodo. La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial, y queda Em=−GMm/2rE_m = -GMm/2r. Para abandonar la Luna hay que alcanzar su velocidad de escape (se desprecia la atracción de la Tierra).
2

Desarrollo

Radio de la órbita: r=5⋅1,74⋅106=8,70⋅106 mr = 5\cdot 1{,}74\cdot 10^6 = 8{,}70\cdot 10^6\,\text{m}; GML=6,67⋅10−11⋅7,35⋅1022=4,90⋅1012 N m2/kgGM_L = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 7{,}35\cdot 10^{22} = 4{,}90\cdot 10^{12}\,\text{N m}^2/\text{kg}.

a)GMLmr2=m 4π2T2 r⟹T=2πr3GML=2π(8,70⋅106)34,90⋅1012=7,28⋅104 s=20,2 h\frac{G M_L m}{r^2} = m\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,r \quad\Longrightarrow\quad T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G M_L}} = 2\pi\sqrt{\frac{(8{,}70\cdot 10^6)^3}{4{,}90\cdot 10^{12}}} = 7{,}28\cdot 10^4\ \text{s} = 20{,}2\ \text{h}b) Con v2=GML/rv^2 = GM_L/r (de la misma igualdad de fuerzas):Em=12mv2−GMLmr=GMLm2r−GMLmr=−GMLm2rE_m = \frac12 m v^2 - \frac{G M_L m}{r} = \frac{G M_L m}{2r} - \frac{G M_L m}{r} = -\frac{G M_L m}{2r}Em=−4,90⋅1012⋅50002⋅8,70⋅106=−1,41⋅109 JE_m = -\frac{4{,}90\cdot 10^{12}\cdot 5000}{2\cdot 8{,}70\cdot 10^6} = -1{,}41\cdot 10^{9}\ \text{J}c) Para escapar de la Luna desde su superficie, la energía mecánica tiene que llegar a cero:12mve2−GMLmRL=0⟹ve=2GMLRL=2⋅4,90⋅10121,74⋅106=2,37⋅103 m/s\frac12 m v_e^2 - \frac{G M_L m}{R_L} = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2 G M_L}{R_L}} = \sqrt{\frac{2\cdot 4{,}90\cdot 10^{12}}{1{,}74\cdot 10^6}} = 2{,}37\cdot 10^3\ \text{m/s}
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Consejo

El enunciado pide deducir las expresiones: escribe siempre la igualdad de fuerzas (o de energías) de la que sale cada fórmula antes de sustituir.
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