Radiactividad y desintegración

a) i) La actividad $A$ de una muestra radiactiva es el número de desintegraciones que se producen por unidad de tiempo:$$A = -\frac{dN}{dt} = \lambda\,N$$Es proporcional al número de núcleos radiactivos presentes: cuantos más quedan, más se desintegran por segundo. Por eso decae exponencialmente con el tiempo, igual que $N$:$$A(t) = A_0\,e^{-\lambda t}$$Su unidad en el S.I. es el becquerelio (Bq), equivalente a una desintegración por segundo. También se usa el curio: $1\,\text{Ci} = 3{,}7\cdot 10^{10}\,\text{Bq}$.

a) ii) Partimos de la definición de actividad y de la relación entre el periodo de semidesintegración y la constante radiactiva. De $N = N_0 e^{-\lambda t}$, imponiendo $N = N_0/2$ en $t = T_{1/2}$:$$\frac{1}{2} = e^{-\lambda T_{1/2}} \quad\Longrightarrow\quad \ln 2 = \lambda\,T_{1/2} \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$$Sustituyendo en $A = \lambda N$:$$\boxed{A = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}\,N}$$La actividad es inversamente proporcional al periodo de semidesintegración: para el mismo número de núcleos, un isótopo de vida corta es mucho más activo que uno de vida larga.

b) i) Constante radiactiva, en días y en segundos:$$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{8{,}02\ \text{días}} = 8{,}64\cdot 10^{-2}\ \text{días}^{-1}$$$$T_{1/2} = 8{,}02\cdot 86\,400 = 6{,}93\cdot 10^{5}\ \text{s} \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{0{,}693}{6{,}93\cdot 10^{5}} = 1{,}00\cdot 10^{-6}\ \text{s}^{-1}$$b) ii) Masa de un núcleo de yodo-131:$$m_{\text{núcleo}} = 130{,}906126\cdot 1{,}66\cdot 10^{-27} = 2{,}17\cdot 10^{-25}\ \text{kg}$$Número inicial de núcleos en los $250\,\text{g} = 0{,}250\,\text{kg}$:$$N_0 = \frac{0{,}250}{2{,}17\cdot 10^{-25}}$$$$N_0 = 1{,}15\cdot 10^{24}\ \text{núcleos}$$b) iii) La actividad actual se calcula con los núcleos que quedan, los correspondientes a $10\,\text{g}$:$$N = \frac{0{,}010}{2{,}17\cdot 10^{-25}} = 4{,}60\cdot 10^{22}\ \text{núcleos}$$$$A = \lambda\,N = 1{,}00\cdot 10^{-6}\cdot 4{,}60\cdot 10^{22}$$$$A = 4{,}60\cdot 10^{16}\ \text{Bq}$$(Comprobación: pasar de $250$ a $10\,\text{g}$ supone dividir por $25$, algo más de $4{,}6$ periodos, es decir, unos $37$ días. Coherente con la vida corta de este isótopo, que es justo lo que lo hace útil en medicina.)