Radiactividad y desintegración

a) i) Llamemos $\lambda_1 = 2\lambda$ a la constante del primer elemento y $\lambda_2 = \lambda$ a la del segundo. Con el mismo número inicial $N_0$:$$N_1(t) = N_0\,e^{-2\lambda t} \qquad N_2(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$$Dividiendo:$$\frac{N_1(t)}{N_2(t)} = \frac{e^{-2\lambda t}}{e^{-\lambda t}} = e^{-\lambda t}$$La relación decrece exponencialmente con el tiempo, partiendo de $1$ en $t = 0$ y tendiendo a cero. Tiene sentido: la muestra con mayor constante radiactiva se desintegra más deprisa, así que cada vez le quedan proporcionalmente menos núcleos.

a) ii) La actividad es $A = \lambda N$, luego$$\frac{A_1(t)}{A_2(t)} = \frac{\lambda_1 N_1(t)}{\lambda_2 N_2(t)} = \frac{2\lambda}{\lambda}\cdot e^{-\lambda t} = 2\,e^{-\lambda t}$$La relación entre actividades es el doble que la relación entre números de núcleos, y también decrece exponencialmente. En $t = 0$ vale $2$: aunque ambas muestras tengan los mismos núcleos, la de constante doble es inicialmente el doble de activa.

b) i) Constante radiactiva del tritio:$$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{12{,}33} = 5{,}62\cdot 10^{-2}\ \text{años}^{-1}$$b) ii) La actividad decae con la misma exponencial que el número de núcleos:$$\frac{A}{A_0} = e^{-\lambda t} = 1{,}24\cdot 10^{-3}$$Tomando logaritmos:$$t = \frac{\ln\left(\dfrac{1}{1{,}24\cdot 10^{-3}}\right)}{\lambda} = \frac{\ln(806{,}5)}{5{,}62\cdot 10^{-2}} = \frac{6{,}693}{5{,}62\cdot 10^{-2}}$$$$t = 119\ \text{años}$$b) iii) Si la muestra se tomó en $2023$ y el vino lleva embotellado $119$ años, la fecha de embotellado sería$$2023 - 119 = 1904$$El año $1904$ está dentro del intervalo $1900$-$1935$, así que la datación radiactiva es compatible con esa suposición.

(Comprobación de orden de magnitud: $119$ años son unos $9{,}6$ periodos de semidesintegración, y $(1/2)^{9{,}6} \approx 1{,}3\cdot 10^{-3}$, que es la actividad relativa dada. ✓)