FísicaMedioProblema · 3 pts

Problema resuelto de Física: Luz: reflexión, refracción y ondas electromagnéticasSelectividad (PAU) · País Vasco 2022 · Junio

Enunciado

Sean dos medios A y B de índices de refracción

n_A

n_B

, respectivamente. Un rayo de luz de frecuencia

6{,}04\times 10^{14}\ \text{Hz}

incide desde el medio A hacia el medio B, verificándose que el ángulo límite para la reflexión total es

45{,}58^\circ

. Sabiendo que

n_A - n_B = 0{,}6

; determine:

a) Los índices de refracción

n_A

n_B

de ambos medios.

b) Las longitudes de onda del rayo de luz incidente en los medios A y B.

Datos:

c = 3\times 10^{8}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

n_A = 2{,}10

n_B = 1{,}50

.

b)

\lambda_A = 2{,}37\cdot 10^{-7}\ \text{m}\ (237\ \text{nm})

\lambda_B = 3{,}31\cdot 10^{-7}\ \text{m}\ (331\ \text{nm})

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Que haya ángulo límite al pasar de A a B significa que A es el medio más refringente (

n_A > n_B

), cosa que confirma

n_A - n_B = 0{,}6 > 0

. En el ángulo límite el rayo refractado sale rasante (a

90^\circ

), y la ley de Snell da una relación entre los dos índices. Junto con la diferencia que nos dan, tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Para las longitudes de onda, la clave es que la frecuencia no cambia al pasar de un medio a otro: cambia la velocidad,

v = c/n

, y con ella

\lambda = v/f

Desarrollo

a) Ley de Snell en el ángulo límite. Con

\theta_A = \theta_L

\theta_B = 90^\circ

n_A\,\operatorname{sen}\theta_L = n_B\,\operatorname{sen}90^\circ\quad\Longrightarrow\quad n_B = n_A\,\operatorname{sen}45{,}58^\circ = 0{,}7142\,n_A

Sistema con la diferencia de índices. Sustituyendo en

n_A - n_B = 0{,}6

n_A\,(1 - \operatorname{sen}45{,}58^\circ) = 0{,}6\quad\Longrightarrow\quad n_A = \frac{0{,}6}{1 - 0{,}7142} = 2{,}10

n_B = n_A - 0{,}6 = 2{,}10 - 0{,}6 = 1{,}50

(Comprobación:

\operatorname{sen}\theta_L = n_B/n_A = 1{,}50/2{,}10 = 0{,}714

, que corresponde a

45{,}6^\circ

.)

b) Longitud de onda en cada medio. La velocidad en un medio es

v_i = c/n_i

y, como la frecuencia es la misma en los dos,

\lambda_i = \frac{v_i}{f} = \frac{c}{n_i\,f}

\lambda_A = \frac{3\cdot 10^{8}}{2{,}10\cdot 6{,}04\cdot 10^{14}} = 2{,}37\cdot 10^{-7}\ \text{m} = 237\ \text{nm}

\lambda_B = \frac{3\cdot 10^{8}}{1{,}50\cdot 6{,}04\cdot 10^{14}} = 3{,}31\cdot 10^{-7}\ \text{m} = 331\ \text{nm}

Comprobación. En el vacío esta luz tendría

\lambda_0 = c/f = 497\ \text{nm}

(luz azul verdosa). En los medios materiales la longitud de onda es menor, y más cuanto mayor es el índice:

\lambda_A < \lambda_B < \lambda_0

, como debe ser.

Consejo

El ángulo límite solo existe al pasar de un medio más refringente a uno menos refringente, y en él el refractado forma $90^\circ$ con la normal: escribe la ley de Snell con $\operatorname{sen}90^\circ = 1$ y lo demás sale solo.

Al cambiar de medio, la frecuencia se conserva; lo que cambian son la velocidad y la longitud de onda. Si dices que cambia la frecuencia, el corrector lo penaliza.