FísicaDifícil2 pts

Luz: reflexión, refracción y ondas electromagnéticas

Comunidad de Madrid · 2022 · Junio (coincidentes)

Enunciado

Una fibra óptica de plástico para el conexionado de un automóvil posee un núcleo cilíndrico con índice de refracción

n_N = 1{,}46

y diámetro

D = 100\ \mu\text{m}

, y un recubrimiento concéntrico de índice de refracción

n_R = 1{,}43

. Partiendo del centro de la fibra, el rayo (1) va paralelo a ella, mientras que el rayo (2) viaja con el máximo ángulo posible

\varphi

para que se refleje totalmente en la frontera núcleo-recubrimiento (ver figura).

a) Calcule el ángulo

\varphi

que forma el rayo (2) con el eje de la fibra óptica.

b) Obtenga la longitud de fibra

L

para la cual el rayo (2) alcanza de nuevo el eje de la fibra, así como la diferencia de tiempos de llegada entre el rayo (1) y el (2) tras recorrer dicha longitud de fibra

L

Corte longitudinal de la fibra: núcleo de diámetro D en el centro, rodeado arriba y abajo por el recubrimiento. Desde un punto del eje salen dos rayos: el (1) va a lo largo del eje y el (2) sube formando un ángulo φ con el eje, se refleja totalmente en la frontera con el recubrimiento y vuelve a cortar el eje a una distancia L del punto de partida

Dato: Velocidad de la luz en el vacío,

c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\varphi = 11{,}64^\circ\;}

\boxed{\;L = 4{,}86\cdot 10^{-4}\ \text{m}\qquad \Delta t = 4{,}96\cdot 10^{-14}\ \text{s}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay reflexión total en la frontera núcleo-recubrimiento si el rayo llega a ella con un ángulo de incidencia (medido desde la normal a la frontera) igual o mayor que el ángulo límite,

\text{sen}\,\theta_L = n_R/n_N

. La normal es perpendicular al eje, así que el ángulo con el eje es

\varphi = 90^\circ - \theta

: el

\varphi

máximo corresponde a incidir justo con el ángulo límite.

En b), el rayo (2) sube

D/2

hasta la frontera y baja otro tanto hasta el eje, avanzando

L/2

en cada tramo:

\tan\varphi = (D/2)/(L/2)

. Los dos rayos viajan a

v = c/n_N

, pero el (2) recorre un camino más largo,

L/\cos\varphi

Desarrollo

a) Ángulo límite en la frontera núcleo-recubrimiento:

n_N\,\text{sen}\,\theta_L = n_R\,\text{sen}\,90^\circ\quad\Longrightarrow\quad \text{sen}\,\theta_L = \frac{1{,}43}{1{,}46} = 0{,}979\quad\Longrightarrow\quad \theta_L = 78{,}36^\circ

Ángulo máximo con el eje:

\varphi = 90^\circ - \theta_L = 11{,}64^\circ

Con un ángulo mayor, el rayo llegaría a la frontera con incidencia menor que la límite y parte de la luz escaparía al recubrimiento.

b) Longitud de fibra en la que el rayo (2) vuelve al eje:

\tan\varphi = \frac{D/2}{L/2} = \frac{D}{L}\quad\Longrightarrow\quad L = \frac{D}{\tan\varphi} = \frac{100\cdot 10^{-6}}{\tan 11{,}64^\circ} = 4{,}86\cdot 10^{-4}\ \text{m}

Medio milímetro. Velocidad de la luz en el núcleo:

v = \frac{c}{n_N} = \frac{3\cdot 10^{8}}{1{,}46} = 2{,}05\cdot 10^{8}\ \text{m/s}

Tiempos de los dos rayos en esa longitud (el (2) recorre

L/\cos\varphi

t_1 = \frac{L}{v} = \frac{4{,}86\cdot 10^{-4}}{2{,}05\cdot 10^{8}} = 2{,}364\cdot 10^{-12}\ \text{s}\qquad t_2 = \frac{L}{v\cos\varphi} = \frac{2{,}364\cdot 10^{-12}}{0{,}9795} = 2{,}413\cdot 10^{-12}\ \text{s}

\Delta t = t_2 - t_1 = 4{,}96\cdot 10^{-14}\ \text{s}

Como

\cos\varphi = \text{sen}\,\theta_L = n_R/n_N

, también

\Delta t = \dfrac{n_N L}{c}\left(\dfrac{n_N}{n_R} - 1\right)

, sin redondeos intermedios. Este retraso entre caminos (dispersión modal) es lo que limita la velocidad de transmisión en las fibras gruesas.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El ángulo límite se mide desde la normal a la frontera, que en una fibra es perpendicular al eje. El ángulo con el eje es su complementario: no los confundas.

En la diferencia de tiempos, que no se te olvide que ambos rayos van por el núcleo a $c/n_N$ ; lo único que cambia es la longitud del camino.