FísicaMedioProblema · 2 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Comunidad de Madrid · 2022 · Junio
Enunciado
Marte posee la décima parte de la masa de la Tierra y la mitad de su diámetro.

a) Encuentre la relación entre las velocidades de escape de Marte y de la Tierra desde sus respectivas superficies.

b) Suponga que un objeto se lanza verticalmente desde la superficie terrestre, con una velocidad igual a la velocidad de escape de Marte. Si se desprecia el rozamiento, ¿qué altura máxima alcanzaría el objeto?

Dato: Radio de la Tierra, RT=6,37⋅106 mR_T = 6{,}37\cdot 10^{6}\,\text{m}.
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Resultado
  ve,Mve,T=15=0,447  \boxed{\;\frac{v_{e,M}}{v_{e,T}} = \frac{1}{\sqrt5} = 0{,}447\;}  hmaˊx=RT4=1,59⋅106 m  \boxed{\;h_{\text{máx}} = \frac{R_T}{4} = 1{,}59\cdot 10^{6}\ \text{m}\;}
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Estrategia

La velocidad de escape es la mínima para que un cuerpo llegue al infinito con energía cinética nula: energía mecánica total igual a cero. Sale ve=2GM/Rv_e = \sqrt{2GM/R}, que depende de M/RM/R. Con las proporciones de Marte (MM=MT/10M_M = M_T/10, RM=RT/2R_M = R_T/2, porque «mitad de diámetro» es mitad de radio), el cociente sale sin necesitar ni GG ni las masas.

En b) el objeto sale de la Tierra con una velocidad menor que la de escape terrestre, así que sube, se para y cae. Conservación de la energía entre la superficie y el punto más alto, sin usar mghmgh: la altura será comparable al radio terrestre y gg no es constante en ese tramo.
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Desarrollo

a) Condición de escape desde la superficie de un planeta de masa MM y radio RR (energía mecánica nula):12 mve2−GMmR=0⟹ve=2GMR\frac{1}{2}\,m v_e^2 - \frac{GMm}{R} = 0\quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}Cociente entre Marte y la Tierra, con MM=MT/10M_M = M_T/10 y RM=RT/2R_M = R_T/2:ve,Mve,T=MMMT⋅RTRM=110⋅2=15=0,447\frac{v_{e,M}}{v_{e,T}} = \sqrt{\frac{M_M}{M_T}\cdot\frac{R_T}{R_M}} = \sqrt{\frac{1}{10}\cdot 2} = \sqrt{\frac{1}{5}} = 0{,}447La velocidad de escape de Marte es 1/51/\sqrt5 de la terrestre, menos de la mitad.

b) El objeto sale de la superficie terrestre con v0=ve,Mv_0 = v_{e,M}. Usando el resultado anterior:v02=ve,T25=15⋅2GMTRTv_0^2 = \frac{v_{e,T}^2}{5} = \frac{1}{5}\cdot\frac{2GM_T}{R_T}Conservación de la energía mecánica entre la superficie y el punto más alto (rmaˊxr_{\text{máx}}, velocidad nula):12 mv02−GMTmRT=−GMTmrmaˊx\frac{1}{2}\,m v_0^2 - \frac{GM_T m}{R_T} = -\frac{GM_T m}{r_{\text{máx}}}Sustituyendo v02v_0^2 y simplificando GMTmGM_T m:15 RT−1RT=−1rmaˊx⟹45 RT=1rmaˊx⟹rmaˊx=54 RT\frac{1}{5\,R_T} - \frac{1}{R_T} = -\frac{1}{r_{\text{máx}}}\quad\Longrightarrow\quad \frac{4}{5\,R_T} = \frac{1}{r_{\text{máx}}}\quad\Longrightarrow\quad r_{\text{máx}} = \frac{5}{4}\,R_TLa altura sobre la superficie:h=rmaˊx−RT=RT4=6,37⋅1064=1,59⋅106 mh = r_{\text{máx}} - R_T = \frac{R_T}{4} = \frac{6{,}37\cdot 10^{6}}{4} = 1{,}59\cdot 10^{6}\ \text{m}Unos 1593 km1593\,\text{km}, una cuarta parte del radio terrestre.
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Consejo

«La mitad de su diámetro» es también la mitad de su radio: el cociente RT/RMR_T/R_M vale 22.

En b) no uses h=v2/2gh = v^2/2g: con gg constante te saldría h=RT/5=1274 kmh = R_T/5 = 1274\,\text{km}, un error del 20 %20\,\%. Cuando la altura es comparable al radio del planeta, la energía potencial es −GMm/r-GMm/r.
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