FísicaMedioProblema · 2 pts

Campo y potencial eléctrico

Comunidad de Madrid · 2022 · Julio

Enunciado

Dos cargas puntuales

Q_1 = 2\ \text{nC}

Q_2 = -4\ \text{nC}

se encuentran en el plano

(x, y)

en los puntos

P_1\,(1, 0)\ \text{m}

P_2\,(3, 0)\ \text{m}

, respectivamente. Calcule:

a) El campo eléctrico creado por ambas cargas en el punto

(2, 1)\ \text{m}

.

b) Las coordenadas del punto del eje

x

situado a la izquierda de la carga

Q_1

(

x < 1\ \text{m}

) en el que el potencial electrostático creado por ambas cargas es cero.

Dato: Constante de la ley de Coulomb,

K = 9{,}0\cdot 10^{9}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{C}^{-2}

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Resultado

\boxed{\;\vec E(2, 1) = 19{,}1\,\vec i - 6{,}36\,\vec j\ \text{N/C}\qquad |\vec E| = 20{,}1\ \text{N/C}\;}

\boxed{\;V = 0\ \text{en}\ (-1,\ 0)\ \text{m}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El campo total es la suma vectorial de los campos de cada carga (principio de superposición). Cada uno lo calculamos con el vector que va de la carga al punto: el de la carga positiva apunta hacia fuera de ella, y el de la negativa, hacia ella. El punto

(2, 1)

está a la misma distancia (

\sqrt 2

m) de las dos cargas, lo que simplifica las cuentas. Para el potencial nulo no hay vectores: basta sumar los dos potenciales, con su signo, e igualar a cero.

Desarrollo

a) Vector que va de cada carga al punto

P(2, 1)

\vec r_1 = (2-1,\ 1-0) = (1,\ 1)\ \text{m}\qquad \vec r_2 = (2-3,\ 1-0) = (-1,\ 1)\ \text{m}\qquad r_1 = r_2 = \sqrt 2\ \text{m}

Campo de cada carga,

\vec E = K\dfrac{Q}{r^2}\,\dfrac{\vec r}{r}

\vec E_1 = 9\cdot 10^{9}\,\frac{2\cdot 10^{-9}}{2}\cdot\frac{(1,\ 1)}{\sqrt 2} = \frac{9}{\sqrt 2}\,(\vec i + \vec j) = 6{,}36\,\vec i + 6{,}36\,\vec j\ \text{N/C}

\vec E_2 = 9\cdot 10^{9}\,\frac{-4\cdot 10^{-9}}{2}\cdot\frac{(-1,\ 1)}{\sqrt 2} = \frac{18}{\sqrt 2}\,(\vec i - \vec j) = 12{,}73\,\vec i - 12{,}73\,\vec j\ \text{N/C}

\vec E_1

se aleja de

Q_1

(positiva) y

\vec E_2

apunta hacia

Q_2

(negativa), como debe ser. Sumando:

\vec E = \vec E_1 + \vec E_2 = \frac{27}{\sqrt 2}\,\vec i - \frac{9}{\sqrt 2}\,\vec j = 19{,}1\,\vec i - 6{,}36\,\vec j\ \text{N/C}

Su módulo es

|\vec E| = \sqrt{19{,}1^2 + 6{,}36^2} = 20{,}1\ \text{N/C}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Para un punto

(x, 0)

con

x < 1

, las distancias a las cargas son

r_1 = 1 - x

r_2 = 3 - x

(las dos positivas). El potencial total es:

V(x) = K\frac{Q_1}{1-x} + K\frac{Q_2}{3-x} = K\left(\frac{2\cdot 10^{-9}}{1-x} - \frac{4\cdot 10^{-9}}{3-x}\right)

Igualamos a cero:

\frac{2}{1-x} = \frac{4}{3-x}\quad\Rightarrow\quad 2(3-x) = 4(1-x)\quad\Rightarrow\quad 6 - 2x = 4 - 4x\quad\Rightarrow\quad x = -1\ \text{m}

Comprobación: en

x = -1

r_1 = 2\ \text{m}

r_2 = 4\ \text{m}

; la carga doble está al doble de distancia, así que los dos potenciales se cancelan. Tiene sentido que el punto esté más cerca de la carga pequeña.

Consejo

Usa siempre el vector de la carga al punto y mete el signo de la carga en la fórmula: así el sentido sale solo y no tienes que «pensar» hacia dónde apunta cada campo.

En el potencial, en cambio, las distancias son siempre positivas y el signo lo pone la carga. Si te sale una $x$ fuera de la región que piden ( $x < 1$ ), revisa cómo has escrito $r_1$ y $r_2$ .