FísicaFácilProblema · 2 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Comunidad de Madrid · 2022 · Julio
Enunciado
El satélite Sentinel-1, que forma parte del programa Copernicus, ha suministrado imágenes muy útiles para el estudio de la erupción del volcán de La Palma en 2021. Sentinel-1 tiene una masa de 2300 kg2300\,\text{kg} y se encuentra en una órbita circular a 700 km700\,\text{km} sobre la superficie terrestre.

a) Deduzca la expresión que relaciona el periodo del satélite, TT, con el radio de su órbita, rr, la constante de Gravitación Universal, GG, y la masa de la Tierra, MTM_T. Calcule el tiempo que tarda Sentinel-1 en dar una vuelta completa en su órbita.

b) Deduzca la expresión de la energía mecánica total de un satélite de masa mm en una órbita circular de radio rr, expresándola en función de GG, MTM_T, mm y rr. Obtenga la energía mecánica total del satélite Sentinel-1.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}; Masa de la Tierra, MT=5,97⋅1024 kgM_T = 5{,}97\cdot 10^{24}\ \text{kg}; Radio de la Tierra, RT=6,37⋅106 mR_T = 6{,}37\cdot 10^{6}\ \text{m}.
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Resultado
  T=2πr3GMTT=5,92⋅103 s≈1,64 h  \boxed{\;T = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{G M_T}}\qquad T = 5{,}92\cdot 10^{3}\ \text{s}\approx 1{,}64\ \text{h}\;}  Em=−GMTm2rEm=−6,48⋅1010 J  \boxed{\;E_m = -\dfrac{G M_T m}{2r}\qquad E_m = -6{,}48\cdot 10^{10}\ \text{J}\;}
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Estrategia

En una órbita circular la única fuerza sobre el satélite es la atracción de la Tierra, y esa fuerza es justo la centrípeta que lo mantiene girando. De esa igualdad sale la velocidad orbital y, como en una vuelta recorre 2πr2\pi r en un tiempo TT, la tercera ley de Kepler. Para la energía mecánica sumamos la cinética (con la velocidad orbital que acabamos de obtener) y la potencial gravitatoria. Ojo: el radio de la órbita se mide desde el centro de la Tierra.
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Desarrollo

a) Radio de la órbita, sumando la altura al radio terrestre:r=RT+h=6,37⋅106+7,00⋅105=7,07⋅106 mr = R_T + h = 6{,}37\cdot 10^{6} + 7{,}00\cdot 10^{5} = 7{,}07\cdot 10^{6}\ \text{m}La fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta:GMTmr2=m v2r⇒v2=GMTr\frac{G M_T m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}\quad\Rightarrow\quad v^2 = \frac{G M_T}{r}El movimiento es uniforme, así que en un periodo recorre la circunferencia completa, v=2πr/Tv = 2\pi r/T. Sustituyendo:4π2r2T2=GMTr⇒T2=4π2GMT r3⇒T=2πr3GMT\frac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{G M_T}{r}\quad\Rightarrow\quad T^2 = \frac{4\pi^2}{G M_T}\,r^3\quad\Rightarrow\quad T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G M_T}}Es la tercera ley de Kepler. Para Sentinel-1:T=2π(7,07⋅106)36,67⋅10−11⋅5,97⋅1024=5,92⋅103 s≈1,64 hT = 2\pi\sqrt{\frac{(7{,}07\cdot 10^{6})^3}{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}}} = 5{,}92\cdot 10^{3}\ \text{s}\approx 1{,}64\ \text{h}Da unas quince vueltas a la Tierra cada día, lo normal en un satélite de órbita baja.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
b) La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial gravitatoria (con origen en el infinito):Em=12mv2−GMTmrE_m = \frac{1}{2}m v^2 - \frac{G M_T m}{r}Usamos v2=GMT/rv^2 = G M_T/r del apartado anterior:Em=12m GMTr−GMTmr=−GMTm2rE_m = \frac{1}{2}m\,\frac{G M_T}{r} - \frac{G M_T m}{r} = -\frac{G M_T m}{2r}Para Sentinel-1:Em=−6,67⋅10−11⋅5,97⋅1024⋅23002⋅7,07⋅106=−6,48⋅1010 JE_m = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}\cdot 2300}{2\cdot 7{,}07\cdot 10^{6}} = -6{,}48\cdot 10^{10}\ \text{J}El signo negativo indica que el satélite está ligado a la Tierra: habría que darle esa energía para alejarlo hasta el infinito.
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Consejo

El error más caro de este tipo de problemas es usar la altura (700 km) como radio de la órbita. El radio se mide desde el centro de la Tierra: r=RT+hr = R_T + h, y en metros.

Cuando te pidan «deducir» una expresión, escribe la igualdad de fuerzas de la que sale: es lo que puntúa. La energía de una órbita circular es siempre la mitad de la potencial, Em=Ep/2E_m = E_p/2, y negativa.
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