FísicaFácilProblema · 3 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Castilla-La Mancha · 2022 · Junio
Enunciado
El primer exoplaneta detectado en 1995, Dimidio, presenta una órbita circular alrededor de su estrella con una velocidad de 136 km/s136\,\text{km/s} y a una distancia de 7,787{,}78 millones de km (de centro a centro). Su radio es de 132 800 km132\,800\,\text{km} y su masa 9⋅1028 kg9\cdot 10^{28}\,\text{kg}.

a) Calcula la masa que tiene la estrella en torno a la que orbita, deduciendo la expresión necesaria.

b) ¿Durante cuántos días tenemos que observar la estrella para registrar 5 tránsitos completos del planeta (es decir, 5 vueltas completas alrededor de su estrella) y confirmar su existencia?

c) ¿Qué velocidad mínima deberíamos proporcionar a una sonda que se hubiera posado en el planeta para que pudiese escapar de la atracción del planeta? Deduce razonadamente la expresión.

Dato: G=6,67⋅10−11 N m2/kg2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N m}^2/\text{kg}^2
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Resultado
  M∗=2,16⋅1030 kg5T=20,8 dıˊasve=3,01⋅105 m/s  \boxed{\;M_* = 2{,}16\cdot 10^{30}\ \text{kg}\qquad 5T = 20{,}8\ \text{días}\qquad v_e = 3{,}01\cdot 10^{5}\ \text{m/s}\;}
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Estrategia

En la órbita circular, la atracción de la estrella es la fuerza centrípeta: de ahí sale la masa de la estrella. El periodo es la longitud de la órbita entre la velocidad. Para escapar del planeta, la energía mecánica de la sonda debe llegar a cero.
2

Desarrollo

Datos en el SI: v=1,36⋅105 m/sv = 1{,}36\cdot 10^5\,\text{m/s}, r=7,78⋅109 mr = 7{,}78\cdot 10^9\,\text{m}, Rp=1,328⋅108 mR_p = 1{,}328\cdot 10^8\,\text{m}.

a)GM∗mpr2=mp v2r⟹M∗=v2rG=(1,36⋅105)2⋅7,78⋅1096,67⋅10−11=2,16⋅1030 kg\frac{G M_* m_p}{r^2} = m_p\,\frac{v^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad M_* = \frac{v^2 r}{G} = \frac{(1{,}36\cdot 10^5)^2\cdot 7{,}78\cdot 10^9}{6{,}67\cdot 10^{-11}} = 2{,}16\cdot 10^{30}\ \text{kg}(Algo más que la masa del Sol.)

b)T=2πrv=2π⋅7,78⋅1091,36⋅105=3,59⋅105 s=4,16 dıˊasT = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi\cdot 7{,}78\cdot 10^9}{1{,}36\cdot 10^5} = 3{,}59\cdot 10^{5}\ \text{s} = 4{,}16\ \text{días}5 T=20,8 dıˊas5\,T = 20{,}8\ \text{días}c) La sonda escapa si llega al infinito con energía mecánica nula como mínimo:12mve2−GmpmRp=0⟹ve=2GmpRp=2⋅6,67⋅10−11⋅9⋅10281,328⋅108=3,01⋅105 m/s\frac12 m v_e^2 - \frac{G m_p m}{R_p} = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2 G m_p}{R_p}} = \sqrt{\frac{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 9\cdot 10^{28}}{1{,}328\cdot 10^8}} = 3{,}01\cdot 10^{5}\ \text{m/s}
3

Consejo

Pasa todo a metros antes de empezar: «7,78 millones de km» son 7,78⋅109 m7{,}78\cdot 10^9\,\text{m}, y un error de un factor 10001000 en rr se arrastra a todos los apartados.
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