FísicaMedioProblema · 3 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Castilla-La Mancha · 2022 · Julio
Enunciado
Desde una base científica establecida en Urano, queremos lanzar un satélite de comunicaciones que orbite alrededor de este planeta, pero manteniéndose siempre en la vertical de nuestra base. Teniendo en cuenta que el periodo de rotación de Urano es de 17 horas, y la masa del satélite 250 kg250\,\text{kg}, determina:

a) La altura sobre la superficie del planeta a que debe orbitar el satélite.

b) La energía cinética y potencial que posee en esa órbita.

c) Velocidad con que impactaría con la superficie del planeta si por alguna razón se desestabilizase su órbita y cayera sobre él.

Datos: MUrano=8,7⋅1025 kgM_{\text{Urano}} = 8{,}7\cdot 10^{25}\,\text{kg}; RUrano=25 300 kmR_{\text{Urano}} = 25\,300\,\text{km}; G=6,67⋅10−11 N m2/kg2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N m}^2/\text{kg}^2
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Resultado
  h=5,67⋅107 mEc=8,85⋅109 JEp=−1,77⋅1010 Jv≈1,97⋅104 m/s  \boxed{\;h = 5{,}67\cdot 10^{7}\ \text{m}\qquad E_c = 8{,}85\cdot 10^{9}\ \text{J}\qquad E_p = -1{,}77\cdot 10^{10}\ \text{J}\qquad v \approx 1{,}97\cdot 10^{4}\ \text{m/s}\;}
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Estrategia

Para seguir siempre sobre la base, el satélite debe dar una vuelta en el mismo tiempo que gira el planeta (órbita «uranoestacionaria»): T=17 hT = 17\,\text{h}. Igualando la atracción a la fuerza centrípeta se obtiene el radio orbital. En la órbita, Ec=GMm/2rE_c = GMm/2r y Ep=−GMm/rE_p = -GMm/r. Para el impacto se aplica la conservación de la energía mecánica (sin atmósfera).
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Desarrollo

GM=6,67⋅10−11⋅8,7⋅1025=5,80⋅1015 N m2/kgGM = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 8{,}7\cdot 10^{25} = 5{,}80\cdot 10^{15}\,\text{N m}^2/\text{kg}; T=17⋅3600=6,12⋅104 sT = 17\cdot 3600 = 6{,}12\cdot 10^4\,\text{s}.

a)GMmr2=m 4π2T2 r⟹r=GM T24π23=5,80⋅1015⋅(6,12⋅104)24π23=8,20⋅107 m\frac{GMm}{r^2} = m\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,r \quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt[3]{\frac{GM\,T^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{5{,}80\cdot 10^{15}\cdot(6{,}12\cdot 10^4)^2}{4\pi^2}} = 8{,}20\cdot 10^{7}\ \text{m}h=r−R=8,20⋅107−2,53⋅107=5,67⋅107 m (56 700 km)h = r - R = 8{,}20\cdot 10^{7} - 2{,}53\cdot 10^{7} = 5{,}67\cdot 10^{7}\ \text{m}\ (56\,700\ \text{km})b)Ec=GMm2r=5,80⋅1015⋅2502⋅8,20⋅107=8,85⋅109 JE_c = \frac{GMm}{2r} = \frac{5{,}80\cdot 10^{15}\cdot 250}{2\cdot 8{,}20\cdot 10^{7}} = 8{,}85\cdot 10^{9}\ \text{J}Ep=−GMmr=−2Ec=−1,77⋅1010 JE_p = -\frac{GMm}{r} = -2E_c = -1{,}77\cdot 10^{10}\ \text{J}c) Si deja de estar en órbita y cae conservando su energía mecánica (Em=Ec+Ep=−8,85⋅109 JE_m = E_c + E_p = -8{,}85\cdot 10^{9}\,\text{J}):Em=12mv2−GMmR⟹v=2(Emm+GMR)=GM(2R−1r)E_m = \frac12 m v^2 - \frac{GMm}{R} \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{2\left(\frac{E_m}{m} + \frac{GM}{R}\right)} = \sqrt{GM\left(\frac{2}{R} - \frac{1}{r}\right)}v=5,80⋅1015(22,53⋅107−18,20⋅107)=1,97⋅104 m/sv = \sqrt{5{,}80\cdot 10^{15}\left(\frac{2}{2{,}53\cdot 10^7} - \frac{1}{8{,}20\cdot 10^7}\right)} = 1{,}97\cdot 10^{4}\ \text{m/s}(Si se supone que empieza a caer desde el reposo a esa altura, saldría v=2GM(1/R−1/r)=1,78⋅104 m/sv = \sqrt{2GM(1/R - 1/r)} = 1{,}78\cdot 10^{4}\,\text{m/s}.)
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Consejo

«Siempre en la vertical de la base» es la pista de que el periodo orbital coincide con el de rotación del planeta. Y no olvides restar el radio: te piden la altura, no el radio de la órbita.
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