Radiactividad y desintegración

a) i) Falsa. La actividad es proporcional al número de núcleos que quedan sin desintegrar:$$A = \lambda\,N = \lambda\,N_0\,e^{-\lambda t} = A_0\,e^{-\lambda t}$$Decae exponencialmente con el tiempo, igual que $N$. Cuantos menos núcleos quedan, menos desintegraciones se producen por segundo. Precisamente por eso las fuentes radiactivas de vida corta pierden utilidad al cabo de poco tiempo.

a) ii) Falsa. Tras un tiempo $t = 2\,T_{1/2}$ queda$$\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4} = 25\,\%$$es decir, una cuarta parte de los núcleos iniciales, no cero. Además, al ser el decaimiento exponencial, la muestra nunca se desintegra del todo en un tiempo finito: en cada periodo desaparece la mitad de los que quedaban, y ese proceso no tiene un final exacto.

b) i) La masa se reduce de $5\cdot 10^{-3}$ a $1{,}25\cdot 10^{-3}\,\text{kg}$:$$\frac{m}{m_0} = \frac{1{,}25\cdot 10^{-3}}{5\cdot 10^{-3}} = \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$Queda exactamente la cuarta parte, lo que corresponde a dos periodos de semidesintegración:$$2\,T_{1/2} = 276\ \text{días} \quad\Longrightarrow\quad T_{1/2} = 138\ \text{días}$$b) ii) Constante de desintegración, en días y en segundos:$$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{138} = 5{,}02\cdot 10^{-3}\ \text{días}^{-1}$$$$\lambda = \frac{5{,}02\cdot 10^{-3}}{86\,400} = 5{,}81\cdot 10^{-8}\ \text{s}^{-1}$$Número inicial de núcleos. La masa de un núcleo de polonio-210 es$$m_{\text{núcleo}} = 209{,}982874\cdot 1{,}66\cdot 10^{-27} = 3{,}49\cdot 10^{-25}\ \text{kg}$$$$N_0 = \frac{5\cdot 10^{-3}}{3{,}49\cdot 10^{-25}} = 1{,}43\cdot 10^{22}\ \text{núcleos}$$Actividad inicial:$$A_0 = \lambda\,N_0 = 5{,}81\cdot 10^{-8}\cdot 1{,}43\cdot 10^{22}$$$$A_0 = 8{,}34\cdot 10^{14}\ \text{Bq}$$b) iii) Núcleos que quedan al cabo de $t = 46$ días:$$\lambda\,t = 5{,}02\cdot 10^{-3}\cdot 46 = 0{,}231 \qquad e^{-0{,}231} = 0{,}794$$$$N(46) = N_0\,e^{-\lambda t} = 1{,}43\cdot 10^{22}\cdot 0{,}794$$$$N(46) = 1{,}14\cdot 10^{22}\ \text{núcleos}$$(Comprobación: $46$ días es un tercio de un periodo de semidesintegración, así que debe quedar algo menos del $80\,\%$: $(1/2)^{1/3} = 0{,}794$. ✓)