Radiactividad y desintegración

a) i) Falsa. El periodo de semidesintegración y la constante radiactiva están relacionados por$$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$$Son inversamente proporcionales. Un periodo largo significa una constante $\lambda$ pequeña, es decir, una probabilidad baja de desintegración por unidad de tiempo: la sustancia se desintegra más despacio, no más rápido.

Basta pensar en dos casos reales: el yodo-131 ($T_{1/2} \approx 8$ días) desaparece en semanas, mientras que el uranio-238 ($T_{1/2} \approx 4500$ millones de años) sigue prácticamente intacto desde la formación de la Tierra.

a) ii) Falsa. La ley de desintegración radiactiva es exponencial, no lineal:$$N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$$Esto se deduce de que la velocidad de desintegración es proporcional al número de núcleos presentes ($-dN/dt = \lambda N$): cuantos menos quedan, menos se desintegran por unidad de tiempo. Por eso en cada periodo de semidesintegración desaparece la mitad de los que había, no una cantidad fija. Si el decaimiento fuese lineal, la muestra se agotaría por completo en un tiempo finito, y no es así.

b) i) Si se ha desintegrado el $10\,\%$, queda el $90\,\%$:$$\frac{N}{N_0} = 0{,}90 \qquad\text{para } t = 1\ \text{hora}$$Aplicando la ley de desintegración:$$0{,}90 = e^{-\lambda\cdot 1} \quad\Longrightarrow\quad \lambda = -\ln(0{,}90) = 0{,}105\ \text{h}^{-1}$$En unidades del S.I.:$$\lambda = \frac{0{,}105}{3600} = 2{,}93\cdot 10^{-5}\ \text{s}^{-1}$$b) ii) Periodo de semidesintegración:$$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0{,}693}{0{,}105}$$$$T_{1/2} = 6{,}58\ \text{horas}$$b) iii) Como todos los núcleos tienen la misma masa, la masa decae con la misma exponencial. Tras $t = 5$ horas:$$m(5) = m_0\,e^{-\lambda t} = 0{,}12\cdot e^{-0{,}105\cdot 5} = 0{,}12\cdot e^{-0{,}527}$$$$m(5) = 0{,}12\cdot 0{,}590 = 0{,}0709\ \text{kg}$$(Atajo equivalente: como cada hora queda el $90\,\%$, tras cinco horas queda $0{,}90^5 = 0{,}590$ de la masa inicial.)

La masa desintegrada es la que falta:$$m_{\text{desint}} = m_0 - m(5) = 0{,}12 - 0{,}0709$$$$m_{\text{desint}} = 4{,}91\cdot 10^{-2}\ \text{kg} \approx 49\ \text{g}$$