Radiactividad y desintegración

a) i) Verdadera. Es el defecto de masa: al medir la masa de un núcleo se comprueba que es siempre menor que la suma de las masas de sus nucleones por separado:$$\Delta m = \bigl[Z\,m_p + (A - Z)\,m_n\bigr] - m_{\text{núcleo}} > 0$$La masa que falta se liberó como energía al formarse el núcleo, según $E = \Delta m\,c^2$. Esa energía de enlace es la que mantiene unidos a los nucleones, y su existencia es la razón misma de que los núcleos sean estables: si la masa fuese igual a la suma, la energía de enlace sería nula y ningún núcleo se mantendría cohesionado.

a) ii) Falsa. La responsable de la cohesión nuclear es la interacción nuclear fuerte, no la débil. La fuerte es la más intensa de las cuatro interacciones fundamentales (unas $10^{2}$ veces la electromagnética), tiene un alcance muy corto ($\sim 10^{-15}\,\text{m}$) y es la que vence la repulsión eléctrica entre los protones del núcleo.

La interacción débil es mucho menos intensa (unas $10^{-13}$ veces la fuerte), tiene un alcance aún menor ($\sim 10^{-18}\,\text{m}$) y su papel es completamente distinto: es la responsable de la desintegración $\beta$, es decir, de la transformación de neutrones en protones y viceversa. No mantiene unido el núcleo: al contrario, permite que se transmute.

b) i) La masa se reduce de $4\cdot 10^{-3}$ a $5\cdot 10^{-4}\,\text{kg}$:$$\frac{m}{m_0} = \frac{5\cdot 10^{-4}}{4\cdot 10^{-3}} = \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$$Queda exactamente un octavo, lo que corresponde a tres periodos de semidesintegración:$$t = 3\,T_{1/2} = 3\cdot 1600$$$$t = 4800\ \text{años}$$b) ii) Constante de desintegración, en segundos (con $1\ \text{año} \approx 3{,}15\cdot 10^{7}\,\text{s}$):$$T_{1/2} = 1600\cdot 3{,}15\cdot 10^{7} = 5{,}05\cdot 10^{10}\ \text{s}$$$$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{5{,}05\cdot 10^{10}} = 1{,}37\cdot 10^{-11}\ \text{s}^{-1}$$Número de núcleos que quedan en ese instante ($5\cdot 10^{-4}\,\text{kg}$). La masa de un núcleo es$$m_{\text{núcleo}} = 226{,}025408\cdot 1{,}66\cdot 10^{-27} = 3{,}75\cdot 10^{-25}\ \text{kg}$$$$N = \frac{5\cdot 10^{-4}}{3{,}75\cdot 10^{-25}} = 1{,}33\cdot 10^{21}\ \text{núcleos}$$Actividad:$$A = \lambda\,N = 1{,}37\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}33\cdot 10^{21}$$$$A = 1{,}83\cdot 10^{10}\ \text{Bq}$$b) iii) Número inicial de núcleos:$$N_0 = \frac{4\cdot 10^{-3}}{3{,}75\cdot 10^{-25}} = 1{,}066\cdot 10^{22}\ \text{núcleos}$$Los núcleos desintegrados son los que faltan:$$N_{\text{desint}} = N_0 - N = 1{,}066\cdot 10^{22} - 1{,}33\cdot 10^{21}$$$$N_{\text{desint}} = 9{,}33\cdot 10^{21}\ \text{núcleos}$$(es decir, los $7/8$ de la muestra inicial, coherente con que quede $1/8$).