FísicaDifícil2 pts

Luz: reflexión, refracción y ondas electromagnéticas

Comunidad de Madrid · 2021 · Junio (coincidentes)

Enunciado

En el fondo de una piscina de profundidad

3

metros se encuentra un foco que emite luz en todas las direcciones con una longitud de onda de

680\,\text{nm}

en el agua. El haz de luz tiene una longitud de onda de

904{,}4\,\text{nm}

en el exterior.

a) Calcule el índice de refracción del agua de la piscina.

Ahora se sitúa en la superficie del agua, sobre la vertical del foco, un objeto circular opaco.

b) Determine el valor del radio del objeto para que un observador externo no vea la luz.

Datos: Índice de refracción del aire,

n_{\text{aire}} = 1

; Velocidad de la luz en el vacío,

c = 3\cdot 10^{8}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;n_{\text{agua}} = 1{,}33\;}

\boxed{\;r = 3{,}42\ \text{m}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) la clave es que al cambiar de medio la frecuencia no cambia; cambian la velocidad y, con ella, la longitud de onda. Como

n = c/v = c/(\lambda f)

, el índice es inversamente proporcional a la longitud de onda:

n_{\text{agua}}\lambda_{\text{agua}} = n_{\text{aire}}\lambda_{\text{aire}}

.

En b) los rayos que llegan a la superficie con un ángulo mayor que el ángulo límite agua-aire se reflejan totalmente y no salen. Los que sí salen forman un cono de semiángulo

\theta_L

con vértice en el foco, que en la superficie dibuja un círculo. Basta con taparlo: su radio sale de la tangente del ángulo límite y la profundidad.

Desarrollo

a) Con la frecuencia común a los dos medios:

n_{\text{agua}}\,\lambda_{\text{agua}} = n_{\text{aire}}\,\lambda_{\text{aire}}\quad\Longrightarrow\quad n_{\text{agua}} = \frac{\lambda_{\text{aire}}}{\lambda_{\text{agua}}} = \frac{904{,}4}{680} = 1{,}33

(La frecuencia de la luz es

f = c/\lambda_{\text{aire}} = 3{,}32\cdot 10^{14}\,\text{Hz}

, en el rojo cercano.)

b) Ángulo límite del agua al aire (el refractado sale rasante, a

90^\circ

n_{\text{agua}}\,\text{sen}\,\theta_L = n_{\text{aire}}\,\text{sen}\,90^\circ\quad\Longrightarrow\quad \text{sen}\,\theta_L = \frac{1}{1{,}33}\quad\Longrightarrow\quad \theta_L = 48{,}75^\circ

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Solo salen del agua los rayos que llegan a la superficie con un ángulo menor que

\theta_L

. Con el foco a

h = 3\,\text{m}

de profundidad, esos rayos llegan a la superficie dentro de un círculo centrado en la vertical del foco, de radio

r = h\,\text{tg}\,\theta_L = 3\cdot\text{tg}\,48{,}75^\circ = 3{,}42\ \text{m}

Un objeto opaco de ese radio (o mayor) tapa toda la luz que podría salir; el resto se refleja totalmente hacia el agua.

Consejo

Si te dan dos longitudes de onda de la misma luz en dos medios, piensa en la frecuencia: es lo único que no cambia, y te da el índice sin necesidad de calcular velocidades.

El ángulo límite solo existe al pasar a un medio de índice menor (del agua al aire, no al revés). Dibuja el cono de luz que sale: el radio del disco es un simple cateto, $h\,\text{tg}\,\theta_L$ .