FísicaMedioProblema · 2 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Comunidad de Madrid · 2021 · Junio
Enunciado
Una sonda espacial de 3500 kg3500\,\text{kg} se encuentra en órbita circular alrededor de Saturno, realizando una revolución cada 3636 horas. Calcule:

a) La velocidad orbital y la energía mecánica que posee la sonda espacial.

b) La energía mínima necesaria que habría que suministrarle para que abandone el campo gravitatorio del planeta.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}; Masa de Saturno, MS=5,68⋅1026 kgM_S = 5{,}68\cdot 10^{26}\,\text{kg}.
Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido
Resultado
  v=1,22⋅104 m s−1Em=−2,62⋅1011 J  \boxed{\;v = 1{,}22\cdot 10^{4}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\qquad E_m = -2{,}62\cdot 10^{11}\ \text{J}\;}  Esum=2,62⋅1011 J  \boxed{\;E_{\text{sum}} = 2{,}62\cdot 10^{11}\ \text{J}\;}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
1

Estrategia

Nos dan el periodo, no el radio. En una órbita circular la atracción gravitatoria hace de fuerza centrípeta, y si además escribimos la velocidad como 2πr/T2\pi r/T sale la tercera ley de Kepler: con ella se despeja el radio. Con el radio ya salen la velocidad y la energía mecánica, que en una órbita circular es −GMm/2r-GMm/2r.

En b) «abandonar el campo» es llegar al infinito con velocidad nula, es decir, con energía mecánica cero. Lo que hay que darle es justo lo que le falta para pasar de la energía de la órbita a cero.
2

Desarrollo

a) Periodo en segundos:T=36⋅3600=1,296⋅105 sT = 36\cdot 3600 = 1{,}296\cdot 10^{5}\ \text{s}La gravedad hace de fuerza centrípeta, y la velocidad de un movimiento circular uniforme es v=2πr/Tv = 2\pi r/T:GMSmr2=mv2rconv=2πrT⟹r3=GMST24π2\frac{G M_S m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}\quad\text{con}\quad v = \frac{2\pi r}{T}\quad\Longrightarrow\quad r^3 = \frac{G M_S T^2}{4\pi^2}r=6,67⋅10−11⋅5,68⋅1026⋅(1,296⋅105)24π23=2,53⋅108 mr = \sqrt[3]{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}68\cdot 10^{26}\cdot\left(1{,}296\cdot 10^{5}\right)^2}{4\pi^2}} = 2{,}53\cdot 10^{8}\ \text{m}Velocidad orbital:v=2πrT=2π⋅2,526⋅1081,296⋅105=1,22⋅104 m s−1v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi\cdot 2{,}526\cdot 10^{8}}{1{,}296\cdot 10^{5}} = 1{,}22\cdot 10^{4}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}(Sale lo mismo con v=GMS/rv = \sqrt{G M_S/r}.) En una órbita circular la energía cinética es la mitad del valor absoluto de la potencial, y la energía mecánica queda:Em=12mv2−GMSmr=−GMSm2r=−6,67⋅10−11⋅5,68⋅1026⋅35002⋅2,526⋅108=−2,62⋅1011 JE_m = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{G M_S m}{r} = -\frac{G M_S m}{2r} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}68\cdot 10^{26}\cdot 3500}{2\cdot 2{,}526\cdot 10^{8}} = -2{,}62\cdot 10^{11}\ \text{J}Es negativa, como corresponde a un cuerpo ligado al planeta.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
(En la simulación se ha puesto el radio real de Saturno, unos 58 200 km58\,200\,\text{km}, que el enunciado no da porque no hace falta: la altura es h=r−Rh = r - R.)

b) Para escapar con la energía mínima, la sonda debe llegar al infinito con velocidad nula, donde su energía potencial también es nula: su energía mecánica final es 00. La energía que hay que suministrarle es:Esum=0−Em=2,62⋅1011 JE_{\text{sum}} = 0 - E_m = 2{,}62\cdot 10^{11}\ \text{J}
3

Consejo

Pasa el periodo a segundos antes de meterlo en la tercera ley de Kepler: con horas, el radio sale disparatado y todo lo demás arrastra el error.

En b) no hace falta la velocidad de escape: basta con la energía. La sonda ya tiene la cinética de su órbita, así que solo hay que darle la diferencia hasta Em=0E_m = 0, que es precisamente ∣Em∣|E_m|.
Paso 1 de 3
¿Lo has intentado? Con una cuenta marcas hasta dónde llegaste y te proponemos qué repasar después.
¿Te atascas?Pregunta a otros estudiantes y profesores en la comunidad.
Sigue practicando
Satélites, órbitas y leyes de Kepler
El próximo 12 de agosto de 2026 tendrá lugar un eclipse total de Sol: la Luna se situará entre la Tierra y el Sol…
Física · Castilla-La Mancha · 2026 · JulioSatélites, órbitas y leyes de Kepler
El 1 de abril de 2026 se lanzó la misión Artemis II, que transportaba a la nave Orion con cuatro astronautas para…
Física · Castilla-La Mancha · 2026 · JunioSatélites, órbitas y leyes de Kepler
Se ha situado un satélite de comunicaciones de masa 1500 kg1500\,\text{kg} en una órbita circular alrededor de la Tierra…
Física · Comunidad de Madrid · 2026 · JunioSatélites, órbitas y leyes de Kepler
El satélite Hope, que está en órbita elíptica alrededor del planeta Marte, fue enviado por la agencia de los…
Física · Comunidad de Madrid · 2026 · Reserva 1
Apuntes y todos los problemas de Campo gravitatorio →