FísicaFácilProblema · 2 pts

Campo y potencial eléctrico

Comunidad de Madrid · 2021 · Junio

Enunciado

Una carga puntual de

2\,\mu\text{C}

se encuentra situada en el origen de coordenadas.

a) Aplicando el teorema de Gauss, obtenga el flujo del campo eléctrico a través de una superficie esférica de

10\,\text{mm}

de diámetro centrada en el origen.

b) Utilizando el valor del flujo obtenido en el apartado anterior, calcule el módulo del campo eléctrico en puntos situados a

5\,\text{mm}

de la carga.

Datos: Permitividad eléctrica del vacío,

\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot 10^{-12}\,\text{C}^2\,\text{N}^{-1}\,\text{m}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\Phi = 2{,}26\cdot 10^{5}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{C}^{-1}\;}

\boxed{\;E = 7{,}19\cdot 10^{8}\ \text{N}\,\text{C}^{-1}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El teorema de Gauss dice que el flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es la carga que encierra dividida entre

\varepsilon_0

. La esfera encierra la carga, así que el flujo sale directamente, sin usar su tamaño.

En b) se recorre el camino inverso: en una esfera centrada en la carga, el campo es radial y tiene el mismo módulo en todos sus puntos, así que el flujo es simplemente

E

por el área de la esfera. Los puntos a

5\,\text{mm}

están justo sobre la esfera del apartado anterior (radio = diámetro / 2), así que se despeja

E

dividiendo el flujo entre su área.

Desarrollo

a) Teorema de Gauss, con

Q = 2\,\mu\text{C} = 2\cdot 10^{-6}\,\text{C}

encerrada:

\Phi = \oint_S \vec E\cdot d\vec S = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} = \frac{2\cdot 10^{-6}}{8{,}85\cdot 10^{-12}} = 2{,}26\cdot 10^{5}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{C}^{-1}

Este valor no depende del radio de la esfera (ni de su forma): vale lo mismo para cualquier superficie cerrada que contenga la carga.

b) La esfera tiene radio

r = 5\,\text{mm} = 5\cdot 10^{-3}\,\text{m}

, justo la distancia pedida. Por simetría,

\vec E

es radial (paralelo a

d\vec S

) y de módulo constante sobre la esfera, así que sale de la integral:

\Phi = \oint_S E\,dS = E\cdot 4\pi r^2

Despejando:

E = \frac{\Phi}{4\pi r^2} = \frac{2{,}26\cdot 10^{5}}{4\pi\cdot\left(5\cdot 10^{-3}\right)^2} = 7{,}19\cdot 10^{8}\ \text{N}\,\text{C}^{-1}

Es el mismo resultado que da la ley de Coulomb,

E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}

: el teorema de Gauss es otra forma de llegar a ella.

Consejo

El dato de $10\,\text{mm}$ es un diámetro: el radio es $5\,\text{mm}$ . Fíjate en que por eso el apartado b) pide el campo justo en la superficie de la esfera del a).

Si en el examen te preguntan por qué el flujo no depende del tamaño de la esfera, la respuesta es que el área crece con $r^2$ y el campo disminuye con $1/r^2$ : el producto no cambia.