FísicaMedioProblema · 2 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

También trata: Campo y potencial gravitatorio
Comunidad de Madrid · 2021 · Julio
Enunciado
Una nave espacial ha quedado atrapada en una órbita circular en torno a un planeta esférico desconocido. Los sistemas de navegación de la nave indican que su velocidad orbital es de 25000 km h−125000\ \text{km}\,\text{h}^{-1} y que tarda 55 horas en dar una vuelta completa alrededor del planeta.

a) Determine el radio de la órbita circular de la nave y la masa del planeta.

b) Si la densidad del planeta es de 16150 kg m−316150\ \text{kg}\,\text{m}^{-3}, calcule el radio del planeta y el valor de la aceleración de la gravedad en su superficie.

Dato: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}.
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Resultado
  r=1,99⋅107 mM=1,44⋅1025 kg  \boxed{\;r = 1{,}99\cdot 10^{7}\ \text{m}\qquad M = 1{,}44\cdot 10^{25}\ \text{kg}\;}  R=5,97⋅106 mg0=26,9 m/s2  \boxed{\;R = 5{,}97\cdot 10^{6}\ \text{m}\qquad g_0 = 26{,}9\ \text{m/s}^2\;}
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Estrategia

La nave da vueltas con velocidad constante, así que en un periodo recorre una circunferencia entera: con la velocidad y el periodo sale el radio de la órbita sin necesidad de saber nada del planeta. Después, como en toda órbita circular, la atracción gravitatoria hace de fuerza centrípeta, y de ahí despejamos la masa del planeta.

En el apartado b) la densidad nos da el volumen del planeta (masa entre densidad) y, como es una esfera, su radio. Con la masa y el radio, la gravedad en la superficie es g0=GM/R2g_0 = GM/R^2. Antes de nada, todo al SI: km/h a m/s y horas a segundos.
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Desarrollo

a) Pasamos los datos al SI:v=25000 kmh⋅1000 m3600 s=6,94⋅103 m/sT=5⋅3600=1,80⋅104 sv = 25000\ \frac{\text{km}}{\text{h}}\cdot\frac{1000\ \text{m}}{3600\ \text{s}} = 6{,}94\cdot 10^{3}\ \text{m/s}\qquad T = 5\cdot 3600 = 1{,}80\cdot 10^{4}\ \text{s}El movimiento es circular uniforme: en un periodo recorre la longitud de la órbita, v=2πr/Tv = 2\pi r/T. Despejamos el radio:r=v T2π=6,944⋅103⋅1,80⋅1042π=1,99⋅107 mr = \frac{v\,T}{2\pi} = \frac{6{,}944\cdot 10^{3}\cdot 1{,}80\cdot 10^{4}}{2\pi} = 1{,}99\cdot 10^{7}\ \text{m}La única fuerza sobre la nave es la gravitatoria, que actúa como fuerza centrípeta:GMmr2=m v2r⇒M=r v2G\frac{G M m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}\quad\Rightarrow\quad M = \frac{r\,v^2}{G}M=1,989⋅107⋅(6,944⋅103)26,67⋅10−11=1,44⋅1025 kgM = \frac{1{,}989\cdot 10^{7}\cdot (6{,}944\cdot 10^{3})^2}{6{,}67\cdot 10^{-11}} = 1{,}44\cdot 10^{25}\ \text{kg}Unas dos veces y media la masa de la Tierra. La masa de la nave se simplifica: no hace falta conocerla.

b) La densidad es la masa entre el volumen de la esfera:ρ=M43πR3⇒R=(3M4πρ)1/3\rho = \frac{M}{\tfrac{4}{3}\pi R^3}\quad\Rightarrow\quad R = \left(\frac{3M}{4\pi\rho}\right)^{1/3}R=(3⋅1,438⋅10254π⋅16150)1/3=5,97⋅106 mR = \left(\frac{3\cdot 1{,}438\cdot 10^{25}}{4\pi\cdot 16150}\right)^{1/3} = 5{,}97\cdot 10^{6}\ \text{m}El radio de la órbita es más de tres veces el del planeta: la nave va a unos 1,39⋅104 km1{,}39\cdot 10^{4}\ \text{km} de altura.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
En la superficie, el peso de un cuerpo es la fuerza gravitatoria del planeta:m g0=GMmR2⇒g0=GMR2=6,67⋅10−11⋅1,438⋅1025(5,969⋅106)2=26,9 m/s2m\,g_0 = \frac{G M m}{R^2}\quad\Rightarrow\quad g_0 = \frac{G M}{R^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}438\cdot 10^{25}}{(5{,}969\cdot 10^{6})^2} = 26{,}9\ \text{m/s}^2Casi tres veces la gravedad terrestre: el planeta tiene un radio parecido al de la Tierra, pero es mucho más denso.
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Consejo

El radio de la órbita sale solo de la cinemática: v=2πr/Tv = 2\pi r/T. Muchos alumnos se lanzan a la tercera ley de Kepler sin la masa del planeta y se atascan; aquí la masa es justo la incógnita.

No olvides pasar los 25000 km/h25000\ \text{km/h} a m/s y las 5 h a segundos antes de operar: con la velocidad en km/h y el tiempo en horas, GG no casa con las unidades y la masa sale disparatada.
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