FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Radiactividad y desintegración

También trata: Núcleo atómico y reacciones nucleares
Andalucía · 2021 · Reserva 2 · Opción B
Enunciado
a) i) Indique cuáles son las interacciones fundamentales de la naturaleza y explique brevemente las características de cada una. ii) Explique cuál o cuáles de ellas están relacionadas con la estabilidad nuclear.

b) En un yacimiento arqueológico se ha encontrado un cuerpo momificado con el 86 %86\,\% de 14C^{14}\text{C} del que presenta habitualmente un ser vivo. Sabiendo que el periodo de semidesintegración del 14C^{14}\text{C} es de 57305730 años, determine razonadamente: i) El tiempo transcurrido desde su muerte. ii) El porcentaje del 14C^{14}\text{C} original que quedará en dichos restos cuando hayan transcurrido 500500 años más.
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Resultado
  Fuerte, electromagneˊtica, deˊbil y gravitatoria; la estabilidad nuclear la rige la FUERTE  \boxed{\;\text{Fuerte, electromagnética, débil y gravitatoria; la estabilidad nuclear la rige la FUERTE}\;}  t=1,25⋅103 an˜osQuedaraˊ el 81,0 %  \boxed{\;t = 1{,}25\cdot 10^{3}\ \text{años}\qquad \text{Quedará el } 81{,}0\ \%\;}
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Estrategia

En b) no hacen falta ni la masa ni el número de núcleos: todo se resuelve con proporciones, porque los datos son porcentajes. La ley de desintegración en la forma N/N0=e−λtN/N_0 = e^{-\lambda t} es suficiente.

Ojo en ii): se pide el porcentaje del 14C^{14}\text{C} original, así que hay que partir del 86 %86\,\% actual y dejar pasar 500500 años más, no volver a empezar desde el 100 %100\,\%.
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Desarrollo

a) i) Las cuatro interacciones fundamentales, ordenadas de mayor a menor intensidad:
  • Nuclear fuerte. Es la más intensa de todas. Actúa entre los quarks y, de forma residual, entre los nucleones (protones y neutrones). Tiene un alcance muy corto, del orden de 10−15 m10^{-15}\,\text{m} (el tamaño del núcleo), no depende de la carga (atrae por igual protón-protón, protón-neutrón y neutrón-neutrón) y es atractiva a esas distancias (a distancias aún menores se vuelve repulsiva, lo que impide que el núcleo colapse).
  • Electromagnética. Unas 10210^{2} veces más débil que la fuerte. Actúa entre partículas con carga eléctrica, tiene alcance infinito y puede ser atractiva o repulsiva.
  • Nuclear débil. Unas 10−1310^{-13} veces la fuerte. Su alcance es aún menor, ∼10−18 m\sim 10^{-18}\,\text{m}. Es la responsable de la desintegración β\beta, es decir, de la transformación de unos tipos de partículas en otros.
  • Gravitatoria. Con diferencia la más débil (∼10−38\sim 10^{-38} veces la fuerte). Actúa entre masas, tiene alcance infinito y es siempre atractiva. Precisamente por no cancelarse nunca, domina a escala astronómica.
a) ii) La estabilidad nuclear está determinada principalmente por la interacción nuclear fuerte: es la que mantiene unidos a los nucleones venciendo la repulsión electromagnética entre los protones, que tiende a romper el núcleo. El equilibrio entre ambas explica la forma de la curva de energía de enlace y por qué no existen núcleos estables demasiado grandes: al crecer ZZ, la repulsión eléctrica (de alcance infinito, entre todos los protones) acaba imponiéndose sobre la atracción fuerte (de alcance corto, solo entre vecinos).

La interacción débil interviene de otro modo: no mantiene unido el núcleo, sino que determina qué núcleos pueden transformarse por emisión β\beta ajustando su proporción de protones y neutrones. La gravitatoria es totalmente despreciable a escala nuclear.

b) i) La ley de desintegración radiactiva, escrita en forma de proporción:NN0=e−λt\frac{N}{N_0} = e^{-\lambda t}La constante de desintegración se obtiene del periodo de semidesintegración:λ=ln⁡2T1/2=0,6935730=1,21⋅10−4 an˜os−1\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{5730} = 1{,}21\cdot 10^{-4}\ \text{años}^{-1}Con N/N0=0,86N/N_0 = 0{,}86:0,86=e−λt⟹t=ln⁡(1/0,86)λ=0,15081,21⋅10−40{,}86 = e^{-\lambda t} \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{\ln(1/0{,}86)}{\lambda} = \frac{0{,}1508}{1{,}21\cdot 10^{-4}}t=1,25⋅103 an˜ost = 1{,}25\cdot 10^{3}\ \text{años}Han transcurrido unos 1247 años desde la muerte. Es coherente con que quede bastante más de la mitad: aún no ha pasado ni un cuarto del periodo de semidesintegración.

b) ii) Ahora partimos del 86 %86\,\% actual y dejamos transcurrir 500500 años más. El factor de reducción en ese intervalo ese−λ⋅500=e−1,21⋅10−4⋅500=e−0,0605=0,941e^{-\lambda\cdot 500} = e^{-1{,}21\cdot 10^{-4}\cdot 500} = e^{-0{,}0605} = 0{,}941Aplicándolo al 86 %86\,\% que queda hoy:NN0=0,86⋅0,941=0,8095\frac{N}{N_0} = 0{,}86\cdot 0{,}941 = 0{,}8095Porcentaje=81,0 %\text{Porcentaje} = 81{,}0\ \%Quedará el 81 %81\,\% del 14C^{14}\text{C} original. Se puede comprobar por la otra vía, contando desde la muerte: ttotal=1247+500=1747t_{\text{total}} = 1247 + 500 = 1747 años, y e−1,21⋅10−4⋅1747=0,810e^{-1{,}21\cdot 10^{-4}\cdot 1747} = 0{,}810 ✓.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
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Consejo

En ii) se pide el porcentaje del 14C^{14}\text{C} original, no el que quedará respecto al de hoy. Multiplica el 86 %86\,\% por el factor de esos 500500 años; responder 94 %94\,\% es contestar a otra pregunta.

Y trabaja con proporciones: no hacen falta la masa de la muestra ni el número de núcleos. Todo el ejercicio sale de N/N0=e−λtN/N_0 = e^{-\lambda t}.
Paso 1 de 3
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