Radiactividad y desintegración

a) Existen tres tipos de emisiones radiactivas.

Radiación $\alpha$. Son núcleos de helio, $^{4}_{2}\text{He}$: dos protones y dos neutrones. Al emitirla, el núcleo pierde $4$ unidades de número másico y $2$ de número atómico:$$^{A}_{Z}X \;\longrightarrow\; ^{A-4}_{Z-2}Y + ^{4}_{2}\text{He}$$Tiene carga positiva ($+2e$) y mucha masa, lo que la hace muy ionizante pero de escaso poder de penetración: una hoja de papel o unos centímetros de aire la detienen. Es característica de los núcleos muy pesados.

Radiación $\beta$. Son electrones ($\beta^-$) o positrones ($\beta^+$) procedentes del propio núcleo. En la $\beta^-$, un neutrón se transforma en protón:$$n \longrightarrow p + e^- + \bar{\nu}_e \qquad\Longrightarrow\qquad ^{A}_{Z}X \;\longrightarrow\; ^{A}_{Z+1}Y + ^{0}_{-1}e$$El número másico no cambia y el atómico aumenta en una unidad (disminuye en la $\beta^+$). Tiene carga ($\mp e$), poder ionizante intermedio y penetración media: la detiene una lámina de aluminio de pocos milímetros. Está gobernada por la interacción nuclear débil.

Radiación $\gamma$. Son fotones de altísima energía, emitidos cuando un núcleo que ha quedado en estado excitado (habitualmente tras una emisión $\alpha$ o $\beta$) se desexcita:$$^{A}_{Z}X^{*} \;\longrightarrow\; ^{A}_{Z}X + \gamma$$No cambia ni $A$ ni $Z$: el núcleo sigue siendo el mismo, solo pierde energía. Al no tener carga ni masa, es la menos ionizante pero la de mayor poder de penetración: hacen falta gruesos blindajes de plomo u hormigón para atenuarla.

Como consecuencia de sus cargas, un campo magnético separa los tres tipos: la $\alpha$ y la $\beta$ se desvían en sentidos opuestos (y la $\beta$ mucho más, por ser mucho más ligera), mientras que la $\gamma$ no se desvía en absoluto.

b) i) Constante de desintegración:$$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{1602} = 4{,}327\cdot 10^{-4}\ \text{años}^{-1}$$Como la masa es proporcional al número de núcleos, podemos aplicar la ley de desintegración directamente a las masas:$$m = m_0\,e^{-\lambda t} = 240\cdot e^{-4{,}327\cdot 10^{-4}\cdot 350}$$$$m = 240\cdot e^{-0{,}1515} = 240\cdot 0{,}8595$$$$m = 206\ \text{mg}$$Queda sin desintegrar el $86\,\%$ de la muestra, razonable porque $350$ años son solo una quinta parte del periodo de semidesintegración.

b) ii) La actividad es proporcional al número de núcleos presentes:$$A = \lambda\,N = \lambda\,N_0\,e^{-\lambda t} = A_0\,e^{-\lambda t}$$así que decae con la misma ley que $N$. Imponiendo $A/A_0 = 1/6$:$$\frac{1}{6} = e^{-\lambda t} \quad\Longrightarrow\quad \lambda\,t = \ln 6 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{\ln 6}{\lambda} = \frac{1{,}792}{4{,}327\cdot 10^{-4}}$$$$t = 4{,}14\cdot 10^{3}\ \text{años}$$Se puede comprobar el orden de magnitud: reducirse a $1/8$ costaría exactamente $3$ periodos, es decir, $4806$ años. Como $1/6$ es una reducción algo menor que $1/8$, el tiempo debe ser algo menor que $4806$ años, y en efecto $4141 < 4806$ ✓.