Se tienen cuatro cargas cuyo valor absoluto es |q| = 1\cdot 10^{-6}\,\text{C}, situadas en los vértices de un cuadrado de lado a = 30\,\text{cm}, que está en el plano xy. Dos de ellas son positivas y están en los puntos (0, 0) y (a, a). Las otras dos son negativas y están situadas en los puntos (0, a) y (a, 0). Calcule: a) La fuerza que se ejerce sobre la carga +q situada en el punto (a, a) debida a las otras tres. b) La energía potencial de la carga situada en el origen de coordenadas debida a las otras tres. Dato: Constante de la ley de Coulomb, K = 9\cdot 10^{9}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{C}^{-2}.

FísicaMedioProblema · 2 pts

Campo y potencial eléctrico

Comunidad de Madrid · 2020 · Julio

Enunciado

Se tienen cuatro cargas cuyo valor absoluto es

|q| = 1\cdot 10^{-6}\,\text{C}

, situadas en los vértices de un cuadrado de lado

a = 30\,\text{cm}

, que está en el plano

xy

. Dos de ellas son positivas y están en los puntos

(0, 0)

(a, a)

. Las otras dos son negativas y están situadas en los puntos

(0, a)

(a, 0)

. Calcule:

a) La fuerza que se ejerce sobre la carga

+q

situada en el punto

(a, a)

debida a las otras tres.

b) La energía potencial de la carga situada en el origen de coordenadas debida a las otras tres.

Dato: Constante de la ley de Coulomb,

K = 9\cdot 10^{9}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{C}^{-2}

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Resultado

\boxed{\;\vec F = -6{,}46\cdot 10^{-2}\left(\vec i + \vec j\right)\ \text{N}\qquad |\vec F| = 9{,}14\cdot 10^{-2}\ \text{N}\;}

\boxed{\;E_p = -3{,}88\cdot 10^{-2}\ \text{J}\;}

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Estrategia

Las cargas se alternan en los vértices: cada positiva tiene a las dos negativas en los vértices contiguos (a distancia

a

) y a la otra positiva en el vértice opuesto (a distancia

a\sqrt{2}

).

Para a) sumamos vectorialmente las tres fuerzas de Coulomb sobre la carga de

(a, a)

: las dos negativas la atraen a lo largo de los lados y la positiva la repele a lo largo de la diagonal. Por simetría, la fuerza total irá según la diagonal.

Para b) la energía potencial es un escalar: se suman, con su signo, las energías de la carga del origen con cada una de las otras tres. Nada de componentes.

Desarrollo

Datos en el SI:

q = 10^{-6}\,\text{C}

a = 0{,}30\,\text{m}

a\sqrt{2} = 0{,}424\,\text{m}

. Nos sirve el factor común

K\,q^2 = 9\cdot 10^{9}\cdot\left(10^{-6}\right)^2 = 9\cdot 10^{-3}\ \text{N}\,\text{m}^2

a) Fuerzas sobre la carga

+q

(a, a)

La carga $-q$ de $(0, a)$ está a la izquierda, a distancia $a$ ; la atrae hacia ella, en el sentido $-\vec i$ :

\vec F_1 = -\frac{K q^2}{a^2}\,\vec i = -\frac{9\cdot 10^{-3}}{0{,}09}\,\vec i = -0{,}1\,\vec i\ \text{N}

La carga $-q$ de $(a, 0)$ está debajo, a distancia $a$ ; la atrae en el sentido $-\vec j$ :

\vec F_2 = -0{,}1\,\vec j\ \text{N}

La carga $+q$ del origen está a distancia $a\sqrt{2}$ y la repele a lo largo de la diagonal, en la dirección del vector unitario $\frac{1}{\sqrt{2}}(\vec i + \vec j)$ :

|\vec F_3| = \frac{K q^2}{2a^2} = \frac{9\cdot 10^{-3}}{0{,}18} = 0{,}05\ \text{N}\qquad \vec F_3 = \frac{0{,}05}{\sqrt{2}}\left(\vec i + \vec j\right) = 0{,}0354\left(\vec i + \vec j\right)\ \text{N}

Por el principio de superposición:

\vec F = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3 = \left(-0{,}1 + 0{,}0354\right)\vec i + \left(-0{,}1 + 0{,}0354\right)\vec j = -6{,}46\cdot 10^{-2}\left(\vec i + \vec j\right)\ \text{N}

Su módulo:

|\vec F| = \sqrt{2}\cdot 6{,}46\cdot 10^{-2} = 9{,}14\cdot 10^{-2}\ \text{N}

Apunta según la diagonal, hacia el centro del cuadrado: las dos atracciones pesan más que la repulsión, que viene de más lejos.

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b) Energía potencial de la carga

+q

del origen con las otras tres (dos negativas a distancia

a

y una positiva a distancia

a\sqrt{2}

E_p = K\,q\left(\frac{-q}{a} + \frac{-q}{a} + \frac{q}{a\sqrt{2}}\right) = K q^2\left(-\frac{2}{a} + \frac{1}{a\sqrt{2}}\right)

E_p = 9\cdot 10^{-3}\cdot\left(-\frac{2}{0{,}30} + \frac{1}{0{,}424}\right) = 9\cdot 10^{-3}\cdot\left(-4{,}31\right) = -3{,}88\cdot 10^{-2}\ \text{J}

Es negativa: el sistema está ligado, porque las atracciones de las vecinas dominan. Haría falta aportar

3{,}88\cdot 10^{-2}\,\text{J}

para llevar esa carga al infinito.

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Consejo

Haz el dibujo antes de calcular: con las cuatro cargas y las tres flechas de fuerza sobre la carga de $(a, a)$ se ve enseguida que la resultante va por la diagonal y hacia dentro.

En b) no hay vectores: la energía potencial se suma con los signos de las cargas. El error típico es usar $a$ también para la carga del vértice opuesto, que está a $a\sqrt{2}$ .