FísicaFácilProblema · 2 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Comunidad de Madrid · 2020 · Julio
Enunciado
Un satélite sigue una órbita circular sincrónica (es decir, del mismo período que el de rotación del planeta) de radio 1,59⋅105 km1{,}59\cdot 10^{5}\,\text{km} en torno a un planeta de masa 1,90⋅1027 kg1{,}90\cdot 10^{27}\,\text{kg}. Calcule:

a) La velocidad del satélite en la órbita.

b) El periodo de rotación del planeta sobre su eje.

Dato: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}.
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Resultado
  v=2,82⋅104 m s−1  \boxed{\;v = 2{,}82\cdot 10^{4}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\;}  Trot=3,54⋅104 s≈9,83 h  \boxed{\;T_{\text{rot}} = 3{,}54\cdot 10^{4}\ \text{s} \approx 9{,}83\ \text{h}\;}
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Estrategia

En una órbita circular, la única fuerza sobre el satélite es la atracción gravitatoria del planeta, y es justo la fuerza centrípeta que lo mantiene girando. Igualando las dos sale la velocidad orbital, que solo depende de la masa del planeta y del radio de la órbita.

Para b) la clave está en la palabra «sincrónica»: el satélite tarda en dar una vuelta lo mismo que el planeta en girar sobre sí mismo (como un geoestacionario en la Tierra). Así que basta con calcular el periodo de la órbita.
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Desarrollo

a) Pasamos el radio a metros:r=1,59⋅105 km=1,59⋅108 mr = 1{,}59\cdot 10^{5}\ \text{km} = 1{,}59\cdot 10^{8}\ \text{m}La fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta:G M mr2=m v2r⟹v=G Mr\frac{G\,M\,m}{r^2} = \frac{m\,v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{G\,M}{r}}Sustituimos (la masa del satélite se simplifica):v=6,67⋅10−11⋅1,90⋅10271,59⋅108=7,97⋅108=2,82⋅104 m s−1v = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}90\cdot 10^{27}}{1{,}59\cdot 10^{8}}} = \sqrt{7{,}97\cdot 10^{8}} = 2{,}82\cdot 10^{4}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}b) El satélite recorre una circunferencia de longitud 2πr2\pi r con velocidad constante vv, así que su periodo es:T=2πrv=2π⋅1,59⋅1082,82⋅104=3,54⋅104 sT = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi\cdot 1{,}59\cdot 10^{8}}{2{,}82\cdot 10^{4}} = 3{,}54\cdot 10^{4}\ \text{s}Como la órbita es sincrónica, este es también el periodo de rotación del planeta:Trot=3,54⋅104 s≈9,83 hT_{\text{rot}} = 3{,}54\cdot 10^{4}\ \text{s} \approx 9{,}83\ \text{h}Un día de menos de diez horas en un planeta de masa 1,9⋅1027 kg1{,}9\cdot 10^{27}\,\text{kg}: son, de hecho, los datos de Júpiter.
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Consejo

«Órbita sincrónica» (o geoestacionaria, si el planeta es la Tierra) es un dato escondido: te está diciendo que el periodo del satélite es el periodo de rotación del planeta.

No olvides pasar el radio de kilómetros a metros antes de meterlo en GM/r\sqrt{GM/r}: si no, la velocidad sale 1000≈32\sqrt{1000}\approx 32 veces mayor y no te darás cuenta a simple vista.
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