FísicaMedioProblema · 2 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Comunidad de Madrid · 2020 · Septiembre
Enunciado
La sonda espacial Mars Reconnaissance Orbiter consiguió en septiembre de 2006 situarse en una órbita circular en torno al planeta Marte a 290 km290\,\text{km} de altura sobre la superficie para realizar un mapeo de su superficie. Tras utilizar combustible en la maniobra de aproximación, la sonda actualmente tiene una masa de 1031 kg1031\,\text{kg}.

a) Halle el periodo de revolución de la sonda espacial y su velocidad orbital alrededor de Marte.

b) Obtenga la energía mínima necesaria que habría que suministrar al satélite para que escape del campo gravitatorio marciano.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}; Masa de Marte, MMarte=6,42⋅1023 kgM_{\text{Marte}} = 6{,}42\cdot 10^{23}\,\text{kg}; Radio de Marte, RMarte=3,39⋅106 mR_{\text{Marte}} = 3{,}39\cdot 10^{6}\,\text{m}.
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Resultado
  T=6,78⋅103 s (≈113 min)v=3,41⋅103 m s−1  \boxed{\;T = 6{,}78\cdot 10^{3}\ \text{s}\ (\approx 113\ \text{min})\qquad v = 3{,}41\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\;}  ΔEmıˊn=6,00⋅109 J  \boxed{\;\Delta E_{\text{mín}} = 6{,}00\cdot 10^{9}\ \text{J}\;}
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Estrategia

En la órbita circular la atracción de Marte es la fuerza centrípeta que mantiene a la sonda girando; de ahí sale la velocidad orbital, y el periodo es el tiempo en recorrer la circunferencia. El radio de la órbita se mide desde el centro de Marte: radio del planeta más altura.

En b) «escapar» significa llegar al infinito con energía mecánica nula (la mínima posible). La sonda ya tiene la energía de su órbita, que es negativa; lo que hay que darle es justo lo que le falta para llegar a cero.
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Desarrollo

a) Radio de la órbita:r=RMarte+h=3,39⋅106+2,9⋅105=3,68⋅106 mr = R_{\text{Marte}} + h = 3{,}39\cdot 10^{6} + 2{,}9\cdot 10^{5} = 3{,}68\cdot 10^{6}\ \text{m}La gravedad hace de fuerza centrípeta:GMmr2=m v2r⟹v=GMr=6,67⋅10−11⋅6,42⋅10233,68⋅106=3,41⋅103 m s−1\frac{G M m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{G M}{r}} = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 6{,}42\cdot 10^{23}}{3{,}68\cdot 10^{6}}} = 3{,}41\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}El periodo es la longitud de la órbita entre la velocidad:T=2πrv=2π⋅3,68⋅1063,411⋅103=6,78⋅103 s≈113 minT = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi\cdot 3{,}68\cdot 10^{6}}{3{,}411\cdot 10^{3}} = 6{,}78\cdot 10^{3}\ \text{s} \approx 113\ \text{min}
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b) La energía mecánica de la sonda en su órbita circular es:Eoˊrbita=−GMm2r=−6,67⋅10−11⋅6,42⋅1023⋅10312⋅3,68⋅106=−6,00⋅109 JE_{\text{órbita}} = -\frac{G M m}{2r} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 6{,}42\cdot 10^{23}\cdot 1031}{2\cdot 3{,}68\cdot 10^{6}} = -6{,}00\cdot 10^{9}\ \text{J}Para escapar con la mínima energía, la sonda debe llegar al infinito con velocidad nula, es decir, con energía mecánica E∞=0E_\infty = 0. La energía que hay que suministrarle es la diferencia:ΔE=E∞−Eoˊrbita=0−(−6,00⋅109)=6,00⋅109 J\Delta E = E_\infty - E_{\text{órbita}} = 0 - \left(-6{,}00\cdot 10^{9}\right) = 6{,}00\cdot 10^{9}\ \text{J}
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Consejo

La energía para escapar desde la órbita no es 12mve2\frac{1}{2}m v_e^2 con la velocidad de escape desde la superficie: la sonda ya está en órbita y ya tiene energía cinética. Basta con llevar su energía mecánica de −GMm/2r-GMm/2r a cero.

No olvides sumar el radio del planeta a la altura: con r=290 kmr = 290\,\text{km} los resultados salen absurdos.
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