Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) Pasamos los datos al SI: $\rho = 1{,}83\,\text{g/cm}^3 = 1830\,\text{kg/m}^3$ y $R = 2{,}41\cdot 10^{6}\,\text{m}$. La masa es la densidad por el volumen de la esfera:$$m = \rho\cdot\frac{4}{3}\pi R^3 = 1830\cdot\frac{4}{3}\pi\left(2{,}41\cdot 10^{6}\right)^3 = 1{,}07\cdot 10^{23}\ \text{kg}$$La gravedad en su superficie es la intensidad del campo que crea a una distancia $R$ de su centro:$$g_0 = \frac{G\,m}{R^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}073\cdot 10^{23}}{\left(2{,}41\cdot 10^{6}\right)^2} = 1{,}23\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$$b) El periodo en segundos es $T = 16{,}89\cdot 86\,400 = 1{,}459\cdot 10^{6}\,\text{s}$. En la órbita circular, la atracción de Júpiter hace de fuerza centrípeta:$$\frac{G M_{\text{Jup}}\, m}{r^2} = m\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,r\quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt[3]{\frac{G M_{\text{Jup}}\,T^2}{4\pi^2}}$$$$r = \sqrt[3]{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}90\cdot 10^{27}\cdot\left(1{,}459\cdot 10^{6}\right)^2}{4\pi^2}} = 1{,}90\cdot 10^{9}\ \text{m}$$De esa misma igualdad, $m v^2 = G M_{\text{Jup}} m / r$, así que la energía cinética es:$$E_c = \frac{1}{2}\,m v^2 = \frac{G M_{\text{Jup}}\,m}{2r} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}90\cdot 10^{27}\cdot 1{,}073\cdot 10^{23}}{2\cdot 1{,}898\cdot 10^{9}} = 3{,}58\cdot 10^{30}\ \text{J}$$(equivale a una velocidad orbital de unos $8{,}17\,\text{km/s}$). La energía mecánica suma la potencial, $E_p = -G M_{\text{Jup}} m / r$, que vale el doble de la cinética con signo menos:$$E_m = E_c + E_p = \frac{G M_{\text{Jup}}\,m}{2r} - \frac{G M_{\text{Jup}}\,m}{r} = -\frac{G M_{\text{Jup}}\,m}{2r} = -3{,}58\cdot 10^{30}\ \text{J}$$Es negativa, como corresponde a un cuerpo ligado a Júpiter.