FísicaMedioProblema · 3 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Castilla-La Mancha · 2020 · Junio
Enunciado
Un planeta gigante de radio RR tiene dos satélites S1S_1 y S2S_2 que giran a su alrededor en órbitas circulares de radios 10R10R y 20R20R respectivamente. La masa del planeta es M=1027 kgM = 10^{27}\,\text{kg}, y el tiempo invertido por el satélite S1S_1 en cada órbita es 4 días 13 horas y 25 minutos.

a) Calcular el radio RR del planeta en km.

b) Calcular la velocidad orbital de S1S_1 en km/s.

c) Calcular el periodo orbital de S2S_2.

Constante de gravitación G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}
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Resultado
  R=64 000 kmv1=10,2 km/sT2=1,11⋅106 s≈12,9 dıˊas  \boxed{\;R = 64\,000\ \text{km}\qquad v_1 = 10{,}2\ \text{km/s}\qquad T_2 = 1{,}11\cdot 10^{6}\ \text{s} \approx 12{,}9\ \text{días}\;}
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Estrategia

De la igualdad entre atracción gravitatoria y fuerza centrípeta sale la tercera ley de Kepler, T2=4π2r3/(GM)T^2 = 4\pi^2 r^3/(GM): con el periodo de S1S_1 se obtiene su radio orbital, que es 10R10R. Para S2S_2 basta comparar con Kepler: T∝r3/2T \propto r^{3/2}.
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Desarrollo

Periodo de S1S_1: T1=4⋅86 400+13⋅3600+25⋅60=393 900 sT_1 = 4\cdot 86\,400 + 13\cdot 3600 + 25\cdot 60 = 393\,900\,\text{s}.

a)r1=GMT124π23=6,67⋅10−11⋅1027⋅393 90024π23=6,40⋅108 mr_1 = \sqrt[3]{\frac{G M T_1^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 10^{27}\cdot 393\,900^2}{4\pi^2}} = 6{,}40\cdot 10^{8}\ \text{m}R=r110=6,40⋅107 m=64 000 kmR = \frac{r_1}{10} = 6{,}40\cdot 10^{7}\ \text{m} = 64\,000\ \text{km}b)v1=2πr1T1=2π⋅6,40⋅108393 900=1,02⋅104 m/s=10,2 km/sv_1 = \frac{2\pi r_1}{T_1} = \frac{2\pi\cdot 6{,}40\cdot 10^8}{393\,900} = 1{,}02\cdot 10^{4}\ \text{m/s} = 10{,}2\ \text{km/s}c) Con la tercera ley de Kepler:T2T1=(r2r1)3/2=23/2=2,83⟹T2=2,83⋅393 900=1,11⋅106 s≈12,9 dıˊas\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^{3/2} = 2^{3/2} = 2{,}83 \quad\Longrightarrow\quad T_2 = 2{,}83\cdot 393\,900 = 1{,}11\cdot 10^{6}\ \text{s} \approx 12{,}9\ \text{días}
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Consejo

Pasa el periodo a segundos con cuidado (días, horas y minutos) antes de usar Kepler. Para el segundo satélite no hace falta repetir la cuenta: un cociente basta.
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