FísicaMedioProblema · 3 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

También trata: Campo y potencial gravitatorio
Castilla-La Mancha · 2020 · Septiembre
Enunciado
En el año 2017 se anunció el descubrimiento de un sistema extrasolar formado por siete planetas alrededor de una estrella enana roja de masa M=1,77⋅1029 kgM = 1{,}77\cdot 10^{29}\,\text{kg}. Uno de estos planetas, que tiene una masa estimada m=5,58⋅1024 kgm = 5{,}58\cdot 10^{24}\,\text{kg} y un radio R=6660 kmR = 6660\,\text{km}, completa una órbita circular alrededor de su estrella cada 9 días terrestres y 4,84{,}8 horas. Se pide:

a) Calcular la distancia del planeta a su estrella.

b) Calcular la velocidad orbital del planeta.

c) ¿Cuál sería el periodo de un péndulo simple de 85 cm85\,\text{cm} de longitud situado en la superficie de ese planeta?

Constante de gravitación G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}
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Resultado
  r=5,74⋅109 mv=4,54⋅104 m/sTpeˊndulo=2,00 s  \boxed{\;r = 5{,}74\cdot 10^{9}\ \text{m}\qquad v = 4{,}54\cdot 10^{4}\ \text{m/s}\qquad T_{\text{péndulo}} = 2{,}00\ \text{s}\;}
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Estrategia

La tercera ley de Kepler (de igualar la atracción de la estrella a la fuerza centrípeta) da el radio orbital. La velocidad es la longitud de la órbita entre el periodo. Para el péndulo hace falta la gravedad en la superficie del planeta, g=Gm/R2g = Gm/R^2.
2

Desarrollo

T=9⋅86 400+4,8⋅3600=794 880 sT = 9\cdot 86\,400 + 4{,}8\cdot 3600 = 794\,880\,\text{s}.

a)r=GMT24π23=6,67⋅10−11⋅1,77⋅1029⋅794 88024π23=5,74⋅109 mr = \sqrt[3]{\frac{G M T^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}77\cdot 10^{29}\cdot 794\,880^2}{4\pi^2}} = 5{,}74\cdot 10^{9}\ \text{m}b)v=2πrT=2π⋅5,74⋅109794 880=4,54⋅104 m/sv = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi\cdot 5{,}74\cdot 10^9}{794\,880} = 4{,}54\cdot 10^{4}\ \text{m/s}c)g=GmR2=6,67⋅10−11⋅5,58⋅1024(6,66⋅106)2=8,39 m/s2g = \frac{G m}{R^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}58\cdot 10^{24}}{(6{,}66\cdot 10^6)^2} = 8{,}39\ \text{m/s}^2Tp=2πLg=2π0,858,39=2,00 sT_p = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}85}{8{,}39}} = 2{,}00\ \text{s}
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Consejo

Cuidado con qué masa usas en cada apartado: la de la estrella para la órbita del planeta, y la del planeta para la gravedad en su superficie.
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