Radiactividad y desintegración

a) Sean $x$ el número de partículas $\alpha$ emitidas e $y$ el de partículas $\beta^-$. Escribimos la transformación global:$$^{238}_{92}\text{U} \;\longrightarrow\; ^{214}_{82}\text{Pb} + x\,^{4}_{2}\text{He} + y\,^{0}_{-1}e$$Conservación del número másico. Solo las partículas $\alpha$ se llevan nucleones (cuatro cada una); las $\beta$ no alteran $A$:$$238 = 214 + 4x \quad\Longrightarrow\quad 4x = 24 \quad\Longrightarrow\quad x = 6$$Se emiten 6 partículas $\alpha$.

Conservación del número atómico. Cada $\alpha$ resta $2$ y cada $\beta^-$ suma $1$:$$92 = 82 + 2x - y \quad\Longrightarrow\quad 92 = 82 + 12 - y \quad\Longrightarrow\quad y = 94 - 92 = 2$$Se emiten 2 partículas $\beta$.

Comprobación. Partiendo del uranio, las $6$ emisiones $\alpha$ bajarían el número atómico hasta $92 - 12 = 80$; las $2$ emisiones $\beta^-$ lo devuelven a $80 + 2 = 82$, que es el del plomo ✓. Y el número másico, $238 - 24 = 214$ ✓.$$\boxed{6\ \alpha\ \text{y}\ 2\ \beta}$$(Es un tramo de la serie radiactiva natural del uranio, que termina finalmente en el $^{206}\text{Pb}$, ya estable.)

b) i) La constante de desintegración se obtiene del periodo de semidesintegración:$$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{5730}$$$$\lambda = 1{,}21\cdot 10^{-4}\ \text{años}^{-1}$$(En unidades del S.I., $\lambda = 3{,}84\cdot 10^{-12}\,\text{s}^{-1}$, pero para este problema conviene trabajar en años.)

b) ii) El método de datación por carbono-14 se basa en que, mientras el organismo vive, la proporción de $^{14}\text{C}$ se mantiene constante por intercambio con la atmósfera. Al morir, ese intercambio cesa y el isótopo empieza a decaer.

La actividad decae con la misma ley exponencial que el número de núcleos:$$A = A_0\,e^{-\lambda t}$$Despejando el tiempo transcurrido desde la muerte:$$t = \frac{1}{\lambda}\ln\!\left(\frac{A_0}{A}\right) = \frac{1}{1{,}21\cdot 10^{-4}}\ln\!\left(\frac{0{,}25}{0{,}163}\right)$$$$\frac{0{,}25}{0{,}163} = 1{,}534 \qquad \ln(1{,}534) = 0{,}4277$$$$t = \frac{0{,}4277}{1{,}21\cdot 10^{-4}}$$$$t = 3{,}54\cdot 10^{3}\ \text{años}$$La momia tiene unos 3535 años. El resultado es coherente: la actividad conserva un $65\,\%$ de la inicial, es decir, no ha llegado a reducirse a la mitad, así que el tiempo transcurrido debe ser menor que un periodo de semidesintegración ($5730$ años), y en efecto $3535 < 5730$ ✓.

Nótese que no ha hecho falta conocer la masa de carbono de la muestra: al trabajar con actividades por gramo, la proporción $A/A_0$ es independiente del tamaño de la muestra.