Radiactividad y desintegración

a) Primera desintegración (emisión $\alpha$). La partícula alfa es un núcleo de helio, $^{4}_{2}\text{He}$, así que el número másico disminuye en $4$ y el atómico en $2$:$$^{214}_{82}\text{Pb} \;\longrightarrow\; ^{210}_{80}\text{Hg} + ^{4}_{2}\text{He}$$Comprobación: $A: 214 = 210 + 4$ ✓ y $Z: 82 = 80 + 2$ ✓. Y en efecto, $Z = 80$ corresponde al mercurio, tal como indica el enunciado.

Segunda desintegración (emisión $\beta^-$). Un neutrón del núcleo se transforma en protón, emitiendo un electrón y un antineutrino:$$n \;\longrightarrow\; p + e^- + \bar{\nu}_e$$El número másico no cambia y el atómico aumenta en una unidad:$$^{210}_{80}\text{Hg} \;\longrightarrow\; ^{210}_{81}\text{Tl} + ^{0}_{-1}e + \bar{\nu}_e$$Comprobación: $A: 210 = 210$ ✓ y $Z: 80 = 81 - 1$ ✓. Y $Z = 81$ es el talio, como decía el enunciado.

Proceso global:$$^{214}_{82}\text{Pb} \;\longrightarrow\; ^{210}_{81}\text{Tl} + ^{4}_{2}\text{He} + ^{0}_{-1}e + \bar{\nu}_e$$b) i) La constante de desintegración se obtiene del periodo de semidesintegración:$$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{77{,}27} = 8{,}97\cdot 10^{-3}\ \text{días}^{-1}$$En unidades del S.I., dividiendo entre los $86400\,\text{s}$ de un día:$$\lambda = \frac{8{,}97\cdot 10^{-3}}{86400}$$$$\lambda = 1{,}04\cdot 10^{-7}\ \text{s}^{-1}$$b) ii) La actividad inicial es el producto de la constante por el número de núcleos presentes, con $\lambda$ en segundos para obtener becquerelios:$$A_0 = \lambda\,N_0 = 1{,}04\cdot 10^{-7}\cdot 6\cdot 10^{21}$$$$A_0 = 6{,}23\cdot 10^{14}\ \text{Bq}$$b) iii) Aplicamos la ley de desintegración con $\lambda$ en días, que es la unidad del tiempo dado:$$N = N_0\,e^{-\lambda t} = 6\cdot 10^{21}\cdot e^{-8{,}97\cdot 10^{-3}\cdot 180}$$$$N = 6\cdot 10^{21}\cdot e^{-1{,}615} = 6\cdot 10^{21}\cdot 0{,}199 = 1{,}19\cdot 10^{21}\ \text{núcleos}$$Los núcleos desintegrados son los que faltan respecto a los iniciales:$$N_{\text{desint}} = N_0 - N = 6\cdot 10^{21} - 1{,}19\cdot 10^{21}$$$$N_{\text{desint}} = 4{,}81\cdot 10^{21}\ \text{núcleos}$$Es decir, se ha desintegrado el $80\,\%$ de la muestra. Coherente: $180$ días son unos $2{,}33$ periodos de semidesintegración, así que debería quedar algo menos de $1/4$ y algo más de $1/8$ de la muestra, y en efecto queda un $20\,\%$ ✓.