FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Radiactividad y desintegración

Andalucía · 2020 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

a) Escriba las expresiones de las leyes del desplazamiento radiactivo de las emisiones alfa, beta y gamma. Razone si pueden desviarse las trayectorias de estas emisiones mediante un campo eléctrico.

b) El

^{24}_{11}\text{Na}

tiene un periodo de semidesintegración de

14{,}959

horas. Calcule: i) La actividad inicial de una muestra de

5\cdot 10^{-3}\,\text{kg}

. ii) El tiempo que transcurre hasta que su actividad se reduce a la décima parte de la inicial.

Datos:

1\,\text{u} = 1{,}66\cdot 10^{-27}\,\text{kg}

;

m(^{24}_{11}\text{Na}) = 23{,}990963\,\text{u}

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Resultado

\boxed{\;\alpha:\ (A-4, Z-2)\quad \beta^-:\ (A, Z+1)\quad \gamma:\ (A, Z)\;}

\boxed{\;\text{Se desvían } \alpha \text{ y } \beta \text{ (tienen carga); la } \gamma \text{ no}\;}

\boxed{\;A_0 = 1{,}62\cdot 10^{18}\ \text{Bq}\qquad t = 49{,}7\ \text{horas}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En b) i) hay que recorrer una cadena: de la masa de la muestra al número de núcleos, y de ahí a la actividad con

A_0 = \lambda N_0

. Cuidado con las unidades: para dar la actividad en becquerelios,

\lambda

debe ir en

\text{s}^{-1}

.

En ii), en cambio, conviene trabajar en horas: se pide un tiempo, y así el resultado sale directamente en las unidades del enunciado.

Desarrollo

a) Leyes del desplazamiento radiactivo (Soddy y Fajans):

Emisión $\alpha$ (un núcleo de helio,

^{4}_{2}\text{He}

): el número másico disminuye en

4

y el atómico en

2

^{A}_{Z}X \;\longrightarrow\; ^{A-4}_{Z-2}Y + ^{4}_{2}\text{He}

Emisión $\beta^-$ (un electrón procedente de la transformación de un neutrón en protón): el número másico no cambia y el atómico aumenta en

1

^{A}_{Z}X \;\longrightarrow\; ^{A}_{Z+1}Y + ^{0}_{-1}e + \bar{\nu}_e

Emisión $\gamma$ (un fotón muy energético emitido al desexcitarse el núcleo): ni $A$ ni $Z$ cambian.

^{A}_{Z}X^{*} \;\longrightarrow\; ^{A}_{Z}X + \gamma

En la carta de núcleos (neutrones en horizontal, protones en vertical), cada ley es un desplazamiento fijo. Recorre la serie del uranio-238 para verlo:

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Desviación en un campo eléctrico. Depende exclusivamente de la carga de cada emisión:

La $\alpha$ tiene carga $+2e$ : sufre una fuerza $\vec{F} = 2e\,\vec{E}$ en el mismo sentido que el campo y sí se desvía. Al ser muy masiva ( $\approx 7300$ veces el electrón), se desvía poco.
La $\beta$ tiene carga $-e$ : la fuerza es opuesta al campo y sí se desvía, en sentido contrario a la $\alpha$ y mucho más, por ser muchísimo más ligera.
La $\gamma$ está formada por fotones, sin carga: la fuerza eléctrica es nula y no se desvía en absoluto.

Éste es precisamente el experimento clásico que permitió identificar y separar los tres tipos de radiación.

b) i) Constante de desintegración, en segundos:

T_{1/2} = 14{,}959\cdot 3600 = 5{,}385\cdot 10^{4}\ \text{s}

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{5{,}385\cdot 10^{4}} = 1{,}287\cdot 10^{-5}\ \text{s}^{-1}

Número de núcleos de la muestra. La masa de un solo núcleo es

m_{\text{núcleo}} = 23{,}990963\cdot 1{,}66\cdot 10^{-27} = 3{,}983\cdot 10^{-26}\ \text{kg}

N_0 = \frac{5\cdot 10^{-3}}{3{,}983\cdot 10^{-26}} = 1{,}255\cdot 10^{23}\ \text{núcleos}

Actividad inicial:

A_0 = \lambda\,N_0 = 1{,}287\cdot 10^{-5}\cdot 1{,}255\cdot 10^{23}

A_0 = 1{,}62\cdot 10^{18}\ \text{Bq}

b) ii) Imponemos que la actividad se reduzca a la décima parte. Como

A = A_0\,e^{-\lambda t}

\frac{1}{10} = e^{-\lambda t} \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{\ln 10}{\lambda}

Trabajando ahora en horas, con

\lambda = \ln 2/14{,}959 = 4{,}634\cdot 10^{-2}\ \text{h}^{-1}

t = \frac{2{,}303}{4{,}634\cdot 10^{-2}}

t = 49{,}7\ \text{horas}

(Equivalen a

1{,}79\cdot 10^{5}\,\text{s}

.) El resultado es coherente: reducirse a

1/10

está entre tres periodos (

1/8

) y cuatro (

1/16

), y en efecto

49{,}7

h está entre

44{,}9

59{,}8

h ✓.

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Consejo

Para la actividad en becquerelios, $\lambda$ tiene que ir en $\text{s}^{-1}$ : hay que pasar las $14{,}959$ horas a segundos. Con $\lambda$ en $\text{h}^{-1}$ el resultado saldría $3600$ veces menor.

En cambio, para el tiempo de ii) conviene quedarse en horas: el cociente $\ln 10/\lambda$ da directamente el resultado en las unidades del enunciado.

Paso 1 de 3

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