FísicaMedioProblema · 2 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Comunidad de Madrid · 2019 · Julio · Opción B
Enunciado
El satélite Europa describe una órbita circular alrededor de Júpiter de 671 100 km671\,100\,\text{km} de radio. Teniendo en cuenta que su periodo de revolución es de 3,553{,}55 días terrestres, determine:

a) La masa de Júpiter.

b) La velocidad de escape desde la superficie de Júpiter.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}; Radio de Júpiter, RJuˊpiter=69 911 kmR_{\text{Júpiter}} = 69\,911\,\text{km}.
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Resultado
  MJuˊpiter=1,90⋅1027 kg  \boxed{\;M_{\text{Júpiter}} = 1{,}90\cdot 10^{27}\ \text{kg}\;}  ve=6,02⋅104 m/s  \boxed{\;v_e = 6{,}02\cdot 10^{4}\ \text{m/s}\;}
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Estrategia

En a) Europa es el satélite y Júpiter el cuerpo central. La atracción de Júpiter hace de fuerza centrípeta; de esa igualdad sale la tercera ley de Kepler, que relaciona el radio y el periodo de la órbita con la masa del planeta. Conociendo rr y TT, despejamos MM.

En b) la velocidad de escape es la mínima para que un cuerpo lanzado desde la superficie llegue al infinito con velocidad nula: su energía mecánica tiene que ser cero. Solo hace falta la masa del apartado anterior y el radio de Júpiter.
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Desarrollo

a) Pasamos los datos al SI:r=6,711⋅108 mT=3,55⋅86 400=3,067⋅105 sr = 6{,}711\cdot 10^{8}\ \text{m}\qquad T = 3{,}55\cdot 86\,400 = 3{,}067\cdot 10^{5}\ \text{s}En la órbita circular, la fuerza gravitatoria es la centrípeta, con v=2πr/Tv = 2\pi r/T:GM mr2=m 4π2T2 r⟹M=4π2r3G T2\frac{G M\,m}{r^2} = m\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,r\quad\Longrightarrow\quad M = \frac{4\pi^2 r^3}{G\,T^2}M=4π2(6,711⋅108)36,67⋅10−11(3,067⋅105)2=1,90⋅1027 kgM = \frac{4\pi^2\left(6{,}711\cdot 10^{8}\right)^3}{6{,}67\cdot 10^{-11}\left(3{,}067\cdot 10^{5}\right)^2} = 1{,}90\cdot 10^{27}\ \text{kg}Unas 318 veces la masa de la Tierra. Europa se mueve a v=2πr/T=1,37⋅104 m/sv = 2\pi r/T = 1{,}37\cdot 10^{4}\,\text{m/s}.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
b) Un cuerpo de masa mm lanzado desde la superficie escapa justo si llega al infinito (donde Ep=0E_p = 0) con velocidad nula. Por conservación de la energía mecánica:12 m ve2−GM mR=0⟹ve=2GMR\frac{1}{2}\,m\,v_e^2 - \frac{G M\,m}{R} = 0\quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}Con R=6,991⋅107 mR = 6{,}991\cdot 10^{7}\,\text{m}:ve=2⋅6,67⋅10−11⋅1,902⋅10276,991⋅107=6,02⋅104 m/sv_e = \sqrt{\frac{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}902\cdot 10^{27}}{6{,}991\cdot 10^{7}}} = 6{,}02\cdot 10^{4}\ \text{m/s}Unos 60 km/s60\,\text{km/s}, más de cinco veces la velocidad de escape de la Tierra (11,2 km/s11{,}2\,\text{km/s}). No depende de la masa del cuerpo que se lanza.
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Consejo

Antes de sustituir en la tercera ley de Kepler, pasa el radio a metros y el periodo a segundos: el radio va al cubo y el periodo al cuadrado, así que un error de unidades se multiplica.

Fíjate en qué radio usa cada apartado: el de la órbita de Europa para la masa y el del planeta para la velocidad de escape desde su superficie.
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