Campo y potencial eléctrico

a) Sea $(x, 0)$ el punto buscado, con $0 < x < 3$. Ahí $\vec E_1$ apunta hacia $+x$ (se aleja de $q_1$) y $\vec E_2$ hacia $-x$ (se aleja de $q_2$). El campo total es nulo si sus módulos son iguales:$$\frac{K q_1}{x^2} = \frac{K q_2}{(3 - x)^2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{(3 - x)^2}{x^2} = \frac{q_2}{q_1} = 2$$Tomando la raíz positiva (las dos distancias son positivas en ese tramo):$$\frac{3 - x}{x} = \sqrt 2\quad\Longrightarrow\quad x = \frac{3}{1 + \sqrt 2} = 3\left(\sqrt 2 - 1\right) = 1{,}24\ \text{m}$$La otra raíz de la ecuación de segundo grado, $x = -3 - 3\sqrt 2 \approx -7{,}24\,\text{m}$, cae a la izquierda de $q_1$: allí los dos campos apuntan hacia $-x$ y se suman, así que no vale. Fuera del eje tampoco puede anularse, porque los dos campos no serían paralelos.

Comprobación: en $x = 1{,}243\,\text{m}$, $E_1 = E_2 = 5{,}83\cdot 10^{4}\,\text{N/C}$.

b) Distancias desde cada punto a las cargas. En $A(3, 4)$: $r_1 = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\,\text{m}$ y $r_2 = 4\,\text{m}$. En $B(2, 0)$: $r_1 = 2\,\text{m}$ y $r_2 = 1\,\text{m}$.

El potencial en cada punto es la suma de los potenciales de las dos cargas:$$V_A = K\left(\frac{q_1}{5} + \frac{q_2}{4}\right) = 9\cdot 10^{9}\left(\frac{10\cdot 10^{-6}}{5} + \frac{20\cdot 10^{-6}}{4}\right) = 6{,}3\cdot 10^{4}\ \text{V}$$$$V_B = K\left(\frac{q_1}{2} + \frac{q_2}{1}\right) = 9\cdot 10^{9}\left(\frac{10\cdot 10^{-6}}{2} + \frac{20\cdot 10^{-6}}{1}\right) = 2{,}25\cdot 10^{5}\ \text{V}$$El trabajo del campo sobre el electrón ($q = -e$) es:$$W_{A\to B} = q\,(V_A - V_B) = -1{,}6\cdot 10^{-19}\left(6{,}3\cdot 10^{4} - 2{,}25\cdot 10^{5}\right) = 2{,}59\cdot 10^{-14}\ \text{J}$$

Es positivo: el electrón, con carga negativa, se mueve espontáneamente hacia potenciales más altos, es decir, hacia las cargas positivas. Su energía potencial disminuye de $-1{,}01\cdot 10^{-14}\,\text{J}$ a $-3{,}6\cdot 10^{-14}\,\text{J}$.