FísicaMedioProblema · 2 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Comunidad de Madrid · 2019 · Julio · Opción A
Enunciado
Los satélites LAGEOS son una serie de satélites artificiales diseñados para proporcionar órbitas de referencia para estudios geodinámicos de la Tierra. Consisten en un cuerpo esférico de masa m=405 kgm = 405\,\text{kg} que se mueve en órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de 5900 km5900\,\text{km} sobre su superficie. Determine:

a) El periodo de este tipo de satélites.

b) La energía requerida para que, desde la superficie de la Tierra, pasen a describir dicha órbita.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}; Masa de la Tierra, MT=5,97⋅1024 kgM_T = 5{,}97\cdot 10^{24}\,\text{kg}; Radio de la Tierra, RT=6,37⋅106 mR_T = 6{,}37\cdot 10^{6}\,\text{m}.
Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido
Resultado
  T=1,35⋅104 s ≈3,76 h  \boxed{\;T = 1{,}35\cdot 10^{4}\ \text{s}\ \approx 3{,}76\ \text{h}\;}  ΔE=1,87⋅1010 J  \boxed{\;\Delta E = 1{,}87\cdot 10^{10}\ \text{J}\;}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
1

Estrategia

En a) la atracción de la Tierra es la fuerza centrípeta que mantiene al satélite en su órbita circular. De esa igualdad sale la tercera ley de Kepler, que da el periodo en cuanto conocemos el radio de la órbita. Ojo: el radio se mide desde el centro de la Tierra, no desde la superficie.

En b) comparamos la energía mecánica del satélite en dos situaciones: en reposo sobre la superficie (solo energía potencial) y ya en órbita (potencial más cinética, que en una órbita circular suman −GMm/2r-GMm/2r). La energía que hay que darle es la diferencia.
2

Desarrollo

a) El radio de la órbita es el radio terrestre más la altura:r=RT+h=6,37⋅106+5,90⋅106=1,227⋅107 mr = R_T + h = 6{,}37\cdot 10^{6} + 5{,}90\cdot 10^{6} = 1{,}227\cdot 10^{7}\ \text{m}En la órbita circular, la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta, con v=2πr/Tv = 2\pi r/T:GMT mr2=m 4π2T2 r⟹T=2πr3GMT\frac{G M_T\,m}{r^2} = m\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,r\quad\Longrightarrow\quad T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G M_T}}T=2π(1,227⋅107)36,67⋅10−11⋅5,97⋅1024=1,35⋅104 sT = 2\pi\sqrt{\frac{\left(1{,}227\cdot 10^{7}\right)^3}{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}}} = 1{,}35\cdot 10^{4}\ \text{s}Son unas 3,763{,}76 horas. La velocidad orbital correspondiente es v=GMT/r=5,70⋅103 m/sv = \sqrt{G M_T/r} = 5{,}70\cdot 10^{3}\,\text{m/s}.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
b) En la superficie, con el satélite en reposo (despreciamos la rotación de la Tierra), solo hay energía potencial:Esup=−GMT mRT=−6,67⋅10−11⋅5,97⋅1024⋅4056,37⋅106=−2,53⋅1010 JE_{\text{sup}} = -\frac{G M_T\,m}{R_T} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}\cdot 405}{6{,}37\cdot 10^{6}} = -2{,}53\cdot 10^{10}\ \text{J}En la órbita, la energía cinética es GMTm/2rG M_T m/2r (de la igualdad del apartado anterior) y la mecánica queda:Eoˊrb=−GMT mr+GMT m2r=−GMT m2r=−6,67⋅10−11⋅5,97⋅1024⋅4052⋅1,227⋅107=−6,57⋅109 JE_{\text{órb}} = -\frac{G M_T\,m}{r} + \frac{G M_T\,m}{2r} = -\frac{G M_T\,m}{2r} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}\cdot 405}{2\cdot 1{,}227\cdot 10^{7}} = -6{,}57\cdot 10^{9}\ \text{J}La energía que hay que comunicarle es la diferencia:ΔE=Eoˊrb−Esup=GMT m(1RT−12r)=−6,57⋅109−(−2,53⋅1010)=1,87⋅1010 J\Delta E = E_{\text{órb}} - E_{\text{sup}} = G M_T\,m\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2r}\right) = -6{,}57\cdot 10^{9} - \left(-2{,}53\cdot 10^{10}\right) = 1{,}87\cdot 10^{10}\ \text{J}Sale positiva, como debe ser: el satélite pasa a estar menos ligado a la Tierra.
3

Consejo

El fallo más repetido es usar la altura (5900 km5900\,\text{km}) como radio de la órbita. En todas las fórmulas del campo gravitatorio, rr es la distancia al centro del planeta.

Para «poner en órbita» no basta con subir el satélite: además hay que darle velocidad. Por eso la energía final no es solo la potencial en la órbita, sino la mecánica, −GMm/2r-GMm/2r.
Paso 1 de 3
¿Lo has intentado? Con una cuenta marcas hasta dónde llegaste y te proponemos qué repasar después.
¿Te atascas?Pregunta a otros estudiantes y profesores en la comunidad.
Sigue practicando
Satélites, órbitas y leyes de Kepler
El próximo 12 de agosto de 2026 tendrá lugar un eclipse total de Sol: la Luna se situará entre la Tierra y el Sol…
Física · Castilla-La Mancha · 2026 · JulioSatélites, órbitas y leyes de Kepler
El 1 de abril de 2026 se lanzó la misión Artemis II, que transportaba a la nave Orion con cuatro astronautas para…
Física · Castilla-La Mancha · 2026 · JunioSatélites, órbitas y leyes de Kepler
Se ha situado un satélite de comunicaciones de masa 1500 kg1500\,\text{kg} en una órbita circular alrededor de la Tierra…
Física · Comunidad de Madrid · 2026 · JunioSatélites, órbitas y leyes de Kepler
El satélite Hope, que está en órbita elíptica alrededor del planeta Marte, fue enviado por la agencia de los…
Física · Comunidad de Madrid · 2026 · Reserva 1
Apuntes y todos los problemas de Campo gravitatorio →