Luz: reflexión, refracción y ondas electromagnéticas

a) Esquema: la superficie del agua horizontal y la normal vertical en el punto de incidencia. Por encima, el rayo incidente y el reflejado, cada uno a un ángulo $\hat\imath$ de la normal; por debajo, el refractado, a un ángulo $\hat r$ de la normal.

El reflejado forma con la superficie un ángulo $90^\circ - \hat\imath$, y el refractado, $90^\circ - \hat r$. El ángulo entre los dos rayos es la suma:$$\left(90^\circ - \hat\imath\right) + \left(90^\circ - \hat r\right) = 90^\circ\quad\Longrightarrow\quad \hat\imath + \hat r = 90^\circ$$Ley de Snell, con $n_{\text{aire}} = 1$ y $\operatorname{sen}\hat r = \operatorname{sen}(90^\circ - \hat\imath) = \cos\hat\imath$:$$1\cdot\operatorname{sen}\hat\imath = 1{,}33\,\cos\hat\imath\quad\Longrightarrow\quad \operatorname{tg}\hat\imath = 1{,}33$$$$\hat\imath = \operatorname{arctg}1{,}33 = 53{,}1^\circ$$El rayo refractado forma entonces $\hat r = 36{,}9^\circ$ con la normal (comprobación: $\operatorname{sen}53{,}1^\circ / 1{,}33 = \operatorname{sen}36{,}9^\circ$). Este ángulo se llama ángulo de Brewster: con él, la luz reflejada sale totalmente polarizada.

b) Sea $H$ la altura de la persona y $h$ la altura de sus ojos sobre el suelo, y $d$ su distancia al espejo.

Trazado de rayos (descripción del dibujo): la persona, de pie frente al espejo vertical. Su imagen es simétrica, a la misma distancia $d$ detrás del espejo y del mismo tamaño.

1. Rayo de la cabeza. El rayo que sale de la parte de arriba de la cabeza y llega a los ojos se refleja con ángulos iguales a un lado y otro de la normal (horizontal). Como la cabeza y los ojos están a la misma distancia $d$ del espejo, el punto de reflexión queda a media altura entre ambos: a $h + (H - h)/2$ del suelo.
2. Rayo de los pies. El rayo que sale de los pies y llega a los ojos se refleja a media altura entre los pies y los ojos: a $h/2$ del suelo.

El espejo solo necesita ocupar el tramo entre esos dos puntos de reflexión. Su longitud mínima es:$$L = \left[h + \frac{H - h}{2}\right] - \frac{h}{2} = \frac{H}{2}$$colocado con su borde inferior a $h/2$ del suelo (la mitad de la altura de los ojos).

Equivalentemente, mirando la imagen: los ojos ven la imagen completa a través del espejo, y los triángulos ojos–imagen (de base $H$, a distancia $2d$) y ojos–espejo (a distancia $d$) son semejantes, con razón $d/2d = 1/2$. Así, $L = H/2$.

No depende de la distancia: $d$ no aparece en el resultado. Al alejarse, los rayos llegan menos inclinados, pero los puntos de reflexión siguen estando a media altura (es un resultado de la igualdad de los ángulos de incidencia y reflexión, que se cumple a cualquier distancia).