FísicaMedioProblema · 3 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Castilla-La Mancha · 2019 · Junio · Opción A
Enunciado
Un satélite de comunicaciones de 500 kg500\,\text{kg} se coloca en órbita geoestacionaria (visto desde la superficie de la Tierra siempre se encuentra situado en la vertical del mismo punto del ecuador).

a) ¿Cuál es la altura de este satélite geoestacionario sobre la superficie terrestre?

b) Calcular las energías cinética y potencial del satélite geoestacionario.

c) Un satélite espía de la misma masa (500 kg500\,\text{kg}) orbita la Tierra a una altura de 350 km350\,\text{km} sobre la superficie. Comparar su velocidad y su energía potencial con las del satélite geoestacionario.

Datos Tierra: masa M=5,97⋅1024 kgM = 5{,}97\cdot 10^{24}\,\text{kg}; radio R=6370 kmR = 6370\,\text{km}. Constante de gravitación G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}
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Resultado
  h=3,59⋅107 mEc=2,36⋅109 JEp=−4,72⋅109 J  \boxed{\;h = 3{,}59\cdot 10^{7}\ \text{m}\qquad E_c = 2{,}36\cdot 10^{9}\ \text{J}\qquad E_p = -4{,}72\cdot 10^{9}\ \text{J}\;}  vespıˊa=7,70 km/s>vgeo=3,07 km/sEp,espıˊa=−2,96⋅1010 J<Ep,geo  \boxed{\;v_{\text{espía}} = 7{,}70\ \text{km/s} > v_{\text{geo}} = 3{,}07\ \text{km/s}\qquad E_{p,\text{espía}} = -2{,}96\cdot 10^{10}\ \text{J} < E_{p,\text{geo}}\;}
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Estrategia

Un satélite geoestacionario tarda lo mismo que la Tierra en dar una vuelta: T=24 hT = 24\,\text{h}. Igualando la atracción a la fuerza centrípeta se obtienen el radio orbital (tercera ley de Kepler) y la velocidad, v=GM/rv = \sqrt{GM/r}. En la órbita, Ec=GMm/2rE_c = GMm/2r y Ep=−GMm/rE_p = -GMm/r.
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Desarrollo

GM=6,67⋅10−11⋅5,97⋅1024=3,98⋅1014 N m2/kgGM = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24} = 3{,}98\cdot 10^{14}\,\text{N m}^2/\text{kg}; T=86 400 sT = 86\,400\,\text{s}.

a)r=GM T24π23=3,98⋅1014⋅86 40024π23=4,22⋅107 mr = \sqrt[3]{\frac{GM\,T^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{3{,}98\cdot 10^{14}\cdot 86\,400^2}{4\pi^2}} = 4{,}22\cdot 10^{7}\ \text{m}h=r−R=4,22⋅107−6,37⋅106=3,59⋅107 m (35 900 km)h = r - R = 4{,}22\cdot 10^{7} - 6{,}37\cdot 10^{6} = 3{,}59\cdot 10^{7}\ \text{m}\ (35\,900\ \text{km})b)Ec=GMm2r=3,98⋅1014⋅5002⋅4,22⋅107=2,36⋅109 JEp=−GMmr=−4,72⋅109 JE_c = \frac{GMm}{2r} = \frac{3{,}98\cdot 10^{14}\cdot 500}{2\cdot 4{,}22\cdot 10^{7}} = 2{,}36\cdot 10^{9}\ \text{J} \qquad E_p = -\frac{GMm}{r} = -4{,}72\cdot 10^{9}\ \text{J}c) Satélite espía: r′=6,37⋅106+3,5⋅105=6,72⋅106 mr' = 6{,}37\cdot 10^6 + 3{,}5\cdot 10^5 = 6{,}72\cdot 10^{6}\,\text{m}.v′=GMr′=3,98⋅10146,72⋅106=7,70⋅103 m/svgeo=GMr=3,07⋅103 m/sv' = \sqrt{\frac{GM}{r'}} = \sqrt{\frac{3{,}98\cdot 10^{14}}{6{,}72\cdot 10^6}} = 7{,}70\cdot 10^{3}\ \text{m/s} \qquad v_{\text{geo}} = \sqrt{\frac{GM}{r}} = 3{,}07\cdot 10^{3}\ \text{m/s}Ep′=−GMmr′=−2,96⋅1010 JE_p' = -\frac{GMm}{r'} = -2{,}96\cdot 10^{10}\ \text{J}El satélite espía, mucho más bajo, va unas 2,52{,}5 veces más rápido (v∝1/rv \propto 1/\sqrt r) y su energía potencial es más negativa, unas 6,36{,}3 veces la del geoestacionario (Ep∝−1/rE_p \propto -1/r): está más ligado a la Tierra.
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Consejo

En las comparaciones, razona con la dependencia en rr además de dar los números: cuanto más baja la órbita, más velocidad y más negativa la energía potencial.
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