FísicaMedioProblema · 3 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Castilla-La Mancha · 2019 · Julio · Opción A
Enunciado
Una sonda espacial de 500 kg500\,\text{kg} orbita un planeta enano de 2370 km2370\,\text{km} de diámetro empleando 3 horas y 10 minutos en completar cada vuelta. La lectura del radar de la sonda indica que la altura del vehículo sobre la superficie es 215 km215\,\text{km}.

a) Calcular la masa del planeta enano.

b) Calcular la velocidad y la energía mecánica de la sonda.

c) Suponiendo que la sonda maniobra modificando su distancia a la superficie y alcanzando una altura mayor, ¿se incrementará o disminuirá su velocidad orbital? Justificar razonadamente.

Constante de gravitación G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}
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Resultado
  M=1,25⋅1022 kgv=772 m/sEm=−1,49⋅108 Ja maˊs altura, menor velocidad  \boxed{\;M = 1{,}25\cdot 10^{22}\ \text{kg}\qquad v = 772\ \text{m/s}\qquad E_m = -1{,}49\cdot 10^{8}\ \text{J}\qquad \text{a más altura, menor velocidad}\;}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

El radio de la órbita es el radio del planeta (la mitad del diámetro) más la altura. Con el periodo, la tercera ley de Kepler da la masa. En una órbita circular, v=2πr/T=GM/rv = 2\pi r/T = \sqrt{GM/r} y Em=−GMm/2rE_m = -GMm/2r.
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Desarrollo

R=1,185⋅106 mR = 1{,}185\cdot 10^6\,\text{m}; r=R+h=1,185⋅106+2,15⋅105=1,40⋅106 mr = R + h = 1{,}185\cdot 10^6 + 2{,}15\cdot 10^5 = 1{,}40\cdot 10^6\,\text{m}; T=3⋅3600+10⋅60=11 400 sT = 3\cdot 3600 + 10\cdot 60 = 11\,400\,\text{s}.

a)GMmr2=m 4π2T2 r⟹M=4π2r3GT2=4π2⋅(1,40⋅106)36,67⋅10−11⋅11 4002=1,25⋅1022 kg\frac{GMm}{r^2} = m\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,r \quad\Longrightarrow\quad M = \frac{4\pi^2 r^3}{G T^2} = \frac{4\pi^2\cdot(1{,}40\cdot 10^6)^3}{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 11\,400^2} = 1{,}25\cdot 10^{22}\ \text{kg}(Muy parecida a la de Plutón, que tiene ese diámetro.)

b)v=2πrT=2π⋅1,40⋅10611 400=772 m/sv = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi\cdot 1{,}40\cdot 10^6}{11\,400} = 772\ \text{m/s}Em=−GMm2r=−12mv2=−12⋅500⋅7722=−1,49⋅108 JE_m = -\frac{GMm}{2r} = -\frac12 m v^2 = -\frac12\cdot 500\cdot 772^2 = -1{,}49\cdot 10^{8}\ \text{J}c) De la igualdad de fuerzas, v=GM/rv = \sqrt{GM/r}: la velocidad orbital disminuye al aumentar el radio de la órbita. En una órbita más alta la atracción del planeta es menor y basta una velocidad más pequeña para mantener la trayectoria circular.
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Consejo

El dato es el diámetro: divídelo entre dos antes de sumar la altura.
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